Задача 1: Найти многочлен P(x) = x³ + ax² + bx + c такой, что для всех x ∈ [0;½].

Решение:

Подойдет, например, многочлен P(x) = x³ + x² + x. В самом деле, . При 0 ≤ x ≤ ½ функции x⁴ и неотрицательны, монотонно возрастают, поэтому функция также монотонно возрастает. Для всех x ∈ [0;½] тогда имеем: , что и требуется.

Задача 2: Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр. Доказать, что

а) сумма цифр чисел 2M и 2K одинакова;

б) сумма цифр чисел 5M и 5K одинакова.

Решение:

Обозначим через S(A) сумму цифр числа A. Пусть , (числа 2a_i и 5a_i, очевидно, двузначные или однозначные). Заметим, что b_i ≤ 1, c_i – 1 ≤ 8, поэтому b_i + c_i – 1 ≤ 9. Кроме того, k_i ≤ 4, p_i – 1 – либо 0, либо 5, поэтому k_i + p_i – 1 ≤ 9. Тогда 2M = 2(10ⁿa_n + 10^n – 1a_n – 1 +  …  + 10a₁ + a₀) = 10ⁿ(10b_n +   + c_n) + 10^n – 1(10b_n – 1 + c_n – 1) +  …  + 10(10b₁ + c₁) + 10b₀ + c₀ = 10^n + 1b_n + 10ⁿ(b_n – 1 + c_n) +  …  +   + 10(b₀ + c₁) + c₀, причем b_n,(b_n – 1 + c_n), … (b₀ + c₁),c₀ — цифры числа 2M. Тогда S(2M) = b_n + (b_n – 1 + c_n) +  …  + (b₀ + c₁) + c₀ = (b_n + c_n) + (b_n – 1 + c_n – 1) +  …  + (b₁ + c₁) + (b₀ + c₀) = S(2a_n) + S(2a_n – 1) +  …  + S(2a₀). Аналогично, 5M = 10^n + 1k_n + 10ⁿ(k_n – 1 + p_n) +  …  +   + 10(k₀ + p₁) + p₀, S(5M) = S(5a_n) + S(5a_n – 1) +  …  + S(5a₀). Очевидно, и S(2M), и S(5M) не зависит от порядка цифр a_i в числе M, поэтому S(2M) = S(2K), и S(5M) = S(5K).

Задача 3: Каково наибольшее возможное число вершин многоугольника, все стороны которого лежат на 6 прямых?

Решение:

Пример такого 12-угольника приведен на рис.13. Покажем, что требуемого многоугольника с большим числом вершин не существует. Предположим противное. Тогда, так как в многоугольнике число сторон равно числу вершин, найдется прямая, скажем l, содержащая не менее трех сторон многоугольника, а значит, не менее шести его вершин. Но остальные 5 прямых могут давать в пересечении с l не более пяти точек, поэтому на l лежит не более пяти вершин многоугольника – противоречие.

Задача 4: Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Решение:

Такие треугольники существуют. Мы построим даже бесконечное семейство треугольников T₁,T₂,T₃ … , ни один из которых не покрывается остальными. Пусть все треугольники T_i равнобедренные с основанием a_i = 10ⁱ площади S_i = (⅓)ⁱ. Построенное семейство искомое. В самом деле, пусть некоторый треугольник семейства (скажем, T_k) покрыт остальными. Проекция каждого треугольника T_ii ≤ k – 1 на прямую, содержащую сторону a_k, не превосходит наибольшей стороны T_i, т.е. не превосходит 10ⁱ, а тогда сумма этих проекций не превосходит . Тогда площадь T_k, покрытая треугольниками T₁,T₂,T₃ … ,T_k – 1 не превосходит (здесь h_k – высота треугольника T_k), значит, оставшиеся покрываются треугольниками T_k + 1,T_k + 2, … . Но это невозможно, так как общая площадь всех этих треугольников равна  – противоречие.