Задача 1: Верно ли, что существует натуральное число M, обладающее свойством: все натуральные числа, большие M, представимы в виде суммы квадрата и куба каких-то двух натуральных чисел?

Решение: Нет, это не верно. Пусть, от противного, найдётся натуральное M (можно полагать, M > 1) с таким свойством. Рассмотрим числа, лежащие в отрезке [M;M⁶] — их всего M⁶ – M + 1 штук. Каждое из таких чисел имеет вид a³ + b² для некоторых натуральных a и b. Ясно, что a ≤ M², b ≤ M³, поэтому всего различных пар (a;\,b) — M⁵. Имеем неравенство: M⁵ ≥ M⁶ – M + 1, что невозможно для M > 1. Противоречие.

Задача 2: Первой точкой Брокара в треугольнике ABC называется такая точка P, что  ∠ PAC =  ∠ PCB =  ∠ PBA. Из точки P опущены перпендикуляры и на стороны BC, CA и AB соответственно. Докажите, что

а) треугольники  ∆ ABC и подобны;

б) коэффициент их подобия равен , где

Решение: Обозначим через угол Брокара ( Рассмотрим четырёхугольник

(см. рис.18). У него два противоположных угла прямые, поэтому вокруг него можно описать окружность. Но тогда , как вписанные опирающиеся на одну и ту же дугу. Аналогично доказываются равенства углов , , и . Отсюда следует во-первых, утверждение пункта а) задачи, а во-вторых, что точка P также является и точкой Брокара треугольника . Так как в подобных треугольниках отношение любых соответствующих линейных элементов равно коэффициенту подобия, то , что доказывает пункт б).

Задача 3: Числа a, b и c удовлетворяют равенствам: ab + bc + ac = 1999abc, и 1999(a + b + c) = 1. Найти a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.

Решение: Из условия задачи следует, что , откуда a²b + a²c + b²a + b²c + c²a + c²b + 2abc = 0. Разложив на множители левую часть, получим (a + b)(a + c)(b + c) = 0, откуда среди чисел a, b и c есть два (без ограничения общности это a и b), дающих в сумме 0. Тогда 1999c = 1, и .

ОТВЕТ: .

Задача 4: Пусть a₁, a₂,  … , a_n — целые числа такие, что все числа b₁, b₂,  … ,b_n (b_i равно произведению цифр числа a_i) различны и не равны нулю. Верно ли, что сумма ?

Решение: Верно. В самом деле, из условия следует, что все b_i имеют вид , причем четвёрки (m_i, r_i, k_i, l_i) различны при различных i. Тогда .