Задача 1:

Два игрока играют в следующую игру. Вначале на доске написаны числа 2, 4, 6, 8, …, 1998. За один ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются числа, равные нулю, и числа, совпадающие с какими-то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при наилучшей игре с обеих сторон?

Решение:

ОТВЕТ: Выиграет первый игрок.

Выигрышная стратегия для первого игрока такова: каждый раз выбирать для своего хода наименьшее из написанных на доске не-чёт-ных чисел, а если таковых нет — произвольное (чётное) число.

Если первый игрок следует своей стратегии, то после первого его хода образуется одно нечётное число, после хода второго игрока — 0 и 2 нечётных. Следовательно, после хода первого вновь будет ровно одно нечётное число.

При этом не может появиться пара (2k – 1,2k), так как она может возникнуть только из пары (2k – 1,2k + 1), а первый игрок выбирает для хода меньшее из двух написанных нечётных чисел. Значит, после хода второго игрока вновь будет 0 или 2 нечётных числа (ровно одно могло бы появиться, если бы перед каждым ходом была пара (2k – 1,2k)) и т.д. Значит, перед каждым ходом первого игрока число нечётных чисел не равно 1 и он не проигрывает.

Задача 2: На горизонтальной плоскости из трёх точек, отстоящих от точки основания вертикальной башни на расстояние 100, 200 и 300 метров, измерили угол под которым видна башня. Измеренные углы в сумме составляют 90. Можно ли по этой информации определить высоту башни?

Решение: Пусть высота башни равна H, а углы, под которыми видна башня, равны соответственно  α ,  β  и . Тогда , , и . Имеем уравнение: , решая которое, находим H = 100м. ОТВЕТ: Высота башни 100 метров.

Задача 3: Доказать, что для любых действительных чисел x и y найдутся числа a ∈ [0;1] и b ∈ [0;1] такие, что

Решение: Предположим противное, т.е., что для некоторых чисел x₀ и y₀ неравенство справедливо для любых чисел a ∈ [0;1] и b ∈ [0;1]. Подставляя вместо a и b числа 0 и 1, 1 и 0, и, наконец, 1 и 1, получим систему:

Из первых двух неравенств системы получаем откуда x + y – 4 <  – ⅔ — противоречие с третьим неравенством системы.

Задача 4: Докажите, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, сумма цифр которого делится на 11.

Решение: Обозначим через A наименьшее из данных 39 чисел, которое делится на 10 и в разряде десятков имеет цифру, отличную от 9. Тогда числа A + 1, A + 2,  … , A + 19 также входят в рассматриваемые 39 чисел. Обозначим через S(M) сумму цифр числа M. Тогда, очевидно, S(A + 1) = S(A) + 1, S(A + 2) = S(A) + 2,  … ,S(A + 9) = S(A) + 9, и S(A + 19) = S(A) + 10, Остаётся заметить, что среди 11 последовательных чисел A, A + 1,  … , A + 10 всегда есть одно, делящееся на 11.