Задача 1: На клетчатой бумаге нарисована прямоугольная таблица размером 2n × 2m клеток (n и m — натуральные числа). Рассматриваются отрезки длины клетки каждый с концами в узлах таблицы. Какое наибольшее число таких отрезков, попарно не имеющих общих точек, можно провести в этом прямоугольнике?

Решение:

Из условия задачи следует, что каждый рассматриваемый отрезок — диагональ квадрата 1 × 1 клетка (назовём такой отрезок просто диагональю). Рассмотрим прямоугольник k × 2 клетки, k > 2 (см. рис. 23). Так как каждая диагональ проходит через один из узлов сетки, лежащий на отрезке AA₁, то в рассматриваемом прямоугольнике нельзя провести более k + 1 попарно не пересекающихся диагоналей.

Теперь пусть во всём прямоугольнике проведено x попарно непересекающихся диагоналей, и пусть, для определённости, m ≥ n. Разделим весь прямоугольник 2n × 2m на n полос размера 2n × 2m каждая. В каждой полосе может проведено не более 2m + 1, поэтому x ≤ n(2m + 1) = m + (n – 1)m + n = mn +  min m,\,n.

Построим пример, показывающий, как можно провести ровно m + (n – 1)m + n = mn +  min m,\,n попарно непересекающихся диагоналей. См. рис.24 (по-прежнему, m ≥ n). В нижней полосе 1 × 2m, как и в каждой из (n – 1) следующих полос 2 × 2m проведено 2m диагоналей, а в самой верхней полосе 1 × 2m — ровно n штук. Всего m + (n – 1)m + n = mn +  min m,\,n диагоналей. Пример построен.

ОТВЕТ: m + (n – 1)m + n = mn +  min m,\,n диагоналей.

Задача 2:

Диагонали параллелограмма, отличного от прямоугольника, ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точка O, а также основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, BD и CD, лежат на одной окружности.

Решение: Пусть M, K и L — основания перпендикуляров, опущенных из вершины A на прямые DC, BC и DB соответственно. Возможны 4 случая:

а) точка L лежит вне параллелограмма (тогда угол  ∠ BAD острый) — см. рис.25,

б) точка L лежит внутри параллелограмма, и угол  ∠ BAD острый — см. рис.26,

в) угол  ∠ BAD тупой, и обе точки M и K лежат на сторонах параллелограмма — см. рис.27,

г) угол  ∠ BAD тупой, и одна из точек M и K (пусть K) лежит на стороне параллелограмма, а вторая — на продолжении стороны — см. рис.28.

Пусть  ∠ KMO =  α . Обозначим через  β  угол, дополнительный к углу  ∠ KLO. Нам достаточно доказать, что  α  =  β  (тогда  α  +  ∠ OLK =  π , и вокруг четырёхугольника KLOM можно описать окружность). Построим на AC, как на диаметре, окружность. Тогда O — её центр, а точки M и K лежат на этой окружности. Отсюда OA = OM (то есть, треугольник OAM равнобедренный, и  ∠ OAM =  ∠ OMA), и  ∠ KMA =  ∠ KCA (как вписаные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того,  ∠ KCA =  ∠ CAD. Имеем:  α  =  ∠ KMO =  ∠ AMO –  ∠ AMK =  ∠ OAM –  ∠ CAD =  ∠ DAM в случаях а)и б),  α  =  ∠ KMO =  ∠ AMK –  ∠ AMO =  ∠ CAD –  ∠ OAM =  ∠ DAM в случае в),  α  =  ∠ KMA +  ∠ OMA =  ∠ CAD +  ∠ OAM =  ∠ DAM в случае г). Итак,  ∠ DAM =  α  в любом случае.

Построим на AB, как на диаметре, окружность. Точки L и K лежат на этой окружности. Теперь в случае а) (так как четырёхугольник KLBA вписан в окружность)  ∠ KAB =  π  –  ∠ KLB =  β . В остальных случаях  ∠ KAB =  ∠ KLB =  β , так как углы  ∠ KAB и  ∠ KLB опираются на одну и ту же дугу. Остаётся заметить, что  ∠ ABK =  ∠ ADM, и  ∆ ABK ∽  ∆ ADM по двум углам, откуда и следует равенство  β  =  α .

Задача 3: Рассматривается система двух уравнений с двумя неизвестными: где P(x,y) и Q(x,y) — многочлены по переменной x и по переменной y. Может ли эта система иметь ровно три решения: (2;3), (0;2), (9;7)?

Решение:

ОТВЕТ: Да, такое возможно. Приведём два из возможных решений.

1 способ: Пусть . Тогда система равносильна совокупности уравнений

каждое из которых имеет только одно решение: (2,\,3), (0,\,2) и (9,\,7) соответственно.

2 способ: Рассмотрим y₁(x) = ax³ + bx² + cx + d и y₂(x) = mx³ + nx² +   + px + q — два многочлена третьей степени, графики которых проходят через точки (2,\,3), (0,\,2) и (9,\,7), и такие, что a ≠ m. Положим P(x,\,y) = y – (ax³ + bx² + cx + d) и Q(x,\,y) = y – (mx³ + nx² + px + q). Тогда система принимает вид:

Вычитая из первого уравнения второе, получим кубическое уравнение, которое не может иметь более трёх корней, поэтому данная система так же имеет не более трёх решений. Остаётся заметить, что каждая из пар (2,\,3), (0,\,2) и (9,\,7) обращает каждое из уравнений системы в тождество.

Задача 4: Средним гармоническим чисел a и b называется число . Построить бесконечную последовательность (или доказать, что такой не существует) целых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен среднему гармоническому предшествующего и последующего членов и в которой не все члены равны.

Решение:

Таких последовательностей не существует. Рассуждаем от противного. Заметим, что если , то — среднее арифметическое чисел и Докажем, что не существут такой бесконечной последовательности чисел вида , n ∈ Z, в которой не все члены равны, и каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов. По характеристическому свойству арифметической прогрессии получаем, что наша последовательность чисел вида должна быть арифметической прогрессией (, следовательно, a_n + 1 – a_n = a_n – a_n – 1, и a_n — арифметическая прогрессия). Замечаем, что все члены вида . С другой стороны, |a_n|, начиная с некоторого номера, должна неограничено возрастать. Противоречие.