Задача 1: Незнайка утверждает, что он может отметить на плоскости 15 точек таких, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он сможет указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли Незнайка?

Решение: Незнайка не прав. В самом деле, пусть ему удалось отметить 15 точек, обладающих указанным свойством, и пусть l_i (1 ≤ i ≤ 7) — прямая, содержащая ровно i отмеченных Незнайкой точек. Так как все эти прямые различны, то любые 4 из них имеют не более 6 точек попарных пересечений, поэтому на прямых l₇, l₆, l₅ и l₄ лежит не менее 7 + 6 + 5 + 4 – 6 = 16 отмеченных точек — противоречие.

Задача 2: На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый ещё раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у каждой армии кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.

Решение: Пусть Тонкие своим единственным залпом убили n Толстых. Тогда вторым залпом Толстые убьют не более 1000 – n Тонких, поэтому за два последних залпа погибнет не более 1000 солдат с той и другой стороны.

Пусть после первого залпа Толстых в живых осталось x Тонких. Возможны два случая:

1) x ≤ 500. Тогда после залпа Тонких у Толстых останется в живых не менее 1000 – x солдат, что не меньше 500, и утверждение в этом случае доказано.

2) x > 500. Тогда после первого залпа Толстых у двух армий в сумме более 1500 живых солдат. Как показано выше, за два последних залпа не может погибнуть более 1000 человек, что и завершает доказательство.

Задача 3: Через точку плоскости проведены 3 прямые, разбивающие плоскость на 6 углов. Известно, что один из образовавшихся углов не превосходит полусуммы наибольшего и наименьшего угла. Докажите, что этот угол не превосходит 60.

Решение: Обозначим три подряд идущих угла через  α ,  β  и  γ . Оставшиеся три угла также будут соответственно равны  α ,  β  и  γ , как вертикальные. Без ограничения общности, пусть  α  ≤  β  ≤  γ . Тогда , откуда  α  +  γ  ≥ 2 β . Но углы  α , β  и  γ  составляют развёрнутый угол, поэтому  π  =  α  +  β  +  γ  ≥ 3 β , откуда и следует утверждение задачи.

Задача 4: Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в её середине.

Решение: Пусть удалось расставить числа так, как это требуется в задаче. Обозначим их через a₁, a₂,  … , a₁₆ двигаясь из какой-нибудь вершины восьмиугольника по часовой стрелке (см. рис.19). Тогда 2a₂ = a₁ + a₃, 2a₄ = a₃ + a₅,  … , 2a₁₆ = a₁₅ + a₁. Просуммируем 8 полученных равенств и добавим к обеим частям сумму a₁ + a₃ +  …  + a₁₅. Получим 3(a₁ + a₃ +  …  + a₁₅) = S, где S — сумма всех расставленных чисел. Значит, S делится на 3. Но S = 1 + 2 +  …  + 16 = 136 — противоречие.

ОТВЕТ: Расставить числа требуемым образом нельзя.