Задача 1: Могут ли две неравные обыкновенные дроби, знаменатели которых 7 и 17, отличаться меньше, чем

а) на 0.01;

б) на 0.005?

Решение:

а) Да, например: .

б) Нет. . 17A – 7B — целое число, неравное нулю. Поэтому .

Задача 2: В республике прошли выборы в парламент. Все голосовавшие за партию «Лимон" любят лимоны, а среди избирателей, голосовавших за другие партии, 90 процентов лимоны не любят. Сколько процентов голосов набрала партия «Лимон", если ровно 46 процентов участвовавших в голосовании любят лимоны?

Решение:

Пусть M человек голосовали за "Лимон", а N — за другие партии. Тогда M + 0,1N голосовавших любят лимоны, а всего голосовавших M + N, поэтому M + 0,1N = 0,46(M + N). Из полученного уравнения находим 3M = 2N, откуда .

Ответ: 40 процентов.

Задача 3: Все 8 вершин замкнутой пространственной несамопересекающейся восьмизвенной ломаной совпадают с вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре звена одинаковой длины.

Решение: Все звенья ломаной — это либо рёбра куба (назовём их звеньями 1-го типа), либо диагонали его граней (звенья 2-го типа), либо диагонали куба (звенья третьего типа). Так как любые две диагонали куба пересекаются, в ломаной нет двух звеньев третьего типа, значит звеньев первого и второго типов в сумме не менее семи. По принципу Дирихле звеньев какого-то типа не менее четырёх. Остаётся заметить, что звенья каждого типа равны между собой по длине.

Задача 4: Деду Морозу сшили новый мешок для новогодних подарков. Этот мешок был точно рассчитан на 12 тигрят и 15 слонят, или на 30 слонят и на 10 мартышек, или на 45 мартышек и 13 тигрят. А на сколько одних только тигрят рассчитан новый мешок Деда Мороза?

Решение: Пусть вместимость мешка Деда Мороза — A. Тогда имеем систему:

Решая эту систему, получаем A = 22x, то есть мешок рассчитан на 22 тигрёнка.