Задача 1: Решите систему уравнений относительно x и y:

(a и b — заданные отрицательные числа).

Решение:

Система линейная относительно a и b. Выразим эти неизвестные через x и y. Вычтем из первого уравнения второе: a(y – 2x) = xy(y – 2x). Случай y = 2x приводит к решению (0;0). В случае a = xy получаем . Отсюда с учетом того, что числа a и b отрицательные, получаем еще 2 решения.

Ответ:

Задача 2: Дедушка, бабушка, папа и мама подошли ночью к мосту (с одной стороны) и хотят перейти через него. У них есть на всех один фонарик, без которого невозможно и шага ступить. Мост выдерживает только двух человек. Папа может перейти мост за 1 минуту, мама — за 2 минуты, дедушка — за 5 минут, бабушка — за 10 минут. Как им всем перейти мост за 17 минут?

Решение: Сначала переходят мост мама и папа (2 минуты), затем мама возвращается (2 минуты) и передает фонарик дедушке с бабушкой, которые переходят мост (10 минут). Наконец, папа возвращается (1 минута) и вместе с мамой переходит мост (2 минуты).

Задача 3: Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Известно, что все его диагонали равны между собой. Докажите, что все его внутренние углы равны между собой, и что все его стороны также равны между собой.

Решение: Пусть ABCDE — пятиугольник, о котором идёт речь в задаче. Так как EB = AC (см. рис.4), имеем равенство дуг AB + BC = AC = EB = EA + AB, откуда дуги BC и EA равны. Аналогично доказываются равенства EA = CD, CD = AB, и AB = DE. Таким образом, вершины пятиугольника разбивают окружность на равные части, то есть пятиугольник правильный.

Задача 4: Является ли число 4⁹ + 6¹º + 3²º простым?

Решение: Не является. 4⁹ + 6¹º + 3²º = (2⁹)² + 2 • 2⁹ • 3¹º + (3¹º)² = (2⁹ + 3¹º)².