Задача 1: Докажите, что если числа a, b, c и d таковы, что 0 ≤ a ≤ 1,\ 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 1, 0 ≤ d ≤ 1, то справедливо неравенство: (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²).

Решение: Обозначим через S сумму a + b + c + d. Тогда (a + b + c + d + 1)² = (S + 1)² = (S – 1)² + 4S ≥ 4S. C другой стороны a ≥ a² (так как 0 ≤ a ≤ 1), и это же верно для чисел b,\,c и d. Таким образом, имеем 4S ≥ 4(a² + b² + c² + d²), что завершает доказательство.

Задача 2: На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку A отмечена точка D. С помощью циркуля и линейки постройте на стороне BC точку E такую, что площади треугольников DEC и ABC равны.

Решение:

Исследование. Пусть задача решена, и такая точка построена. Обозначим через K точку пересечения отрезков DE и AB (см.рис.9). Из равенства S_ADK + S_AKEC = S_DEC = S_ABC = S_AKEC + S_BKE, следует равенство площадей треугольников ADK и BKE, а следовательно, и равенство S_DAB = S_DEB. Это означает, что точки A и E равноудалены от прямой BD, т.е, что четырёхугольник ADBE — трапеция.

Построение. Проводим через точку A прямую, параллельную прямой BD, и на пересечении этой прямой со стороной BC отмечаем точку E. Точка E искомая.

Доказательство. Четырёхугольник ADBE является трапецией по построению, следовательно площади треугольников DKA и BKE равны. Тогда равновелики и треугольники DEC и BAC.

Анализ. Из исследования видно, что задача всегда имеет единственное решение.

Задача 3: В треугольнике площади 2 расположены 15 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем .

Решение: Разделим одну из сторон данного треугольника (скажем, AB) на 7 равных частей и соединим точки деления с вершиной C (см. рис.10). Треугольник ABC разобъётся на 7 треугольников площади каждый. По принципу Дирихле в некоторый такой треугольник (скажем, в заштрихованный) попадут по крайней мере 3 точки. Если не все из них совпадают с вершинами заштрихованного треугольника, то площадь треугольника с вершинами в этих точках строго меньше , и всё доказано. Пусть все эти точки совпадают с вершинами треугольника и других точек в этом треугольнике нет. Тогда в оставшихся шести треугольников разбиения лежат ещё 12 точек, т.е. либо в некотором треугольнике лежат по крайней мере 3 точки, не совпадающих с C (и тогда они искомые), либо в каждом из оставшихся треугольников лежат ровно 2 точки. Тогда выберем 2 точки в треугольнике соседнем к заштрихованному и добавим точку C. Эти три точки, очевидно, искомые.

Задача 4: Назовём трёхзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть цифру так, что образовавшееся число будет меньше суммы цифр исходного трёхзначного. Сколько существует особенных чисел?

Решение: Сумма цифр трёхзначного числа не превосходит 27, поэтому во всяком особенном числе есть цифра, не превосходящая 2. Тогда сумма цифр всякого особенного числа не больше 9 + 9 + 2 = 20, причём 20 достигается только в случае 229, 292 и 922. Так как ни одно из этих чисел не является особенным, сумма цифр особенного числа всегда меньше 20, значит, в особенном числе в разряде сотен или десятков присутствуют либо 0, либо 1. Допустим, что ни в разряде сотен, ни в разряде десятков ноль не стоит. Тогда особенное число имеет вид: (или ). Так как число особенное, выполняется неравенство: , откуда b > 9 — противоречие. Так как ноль в разряде сотен стоять не может (в этом случае число не трёхзначное), приходим к выводу, что все особенные числа имеют вид . С другой стороны, любое число указанного вида — особенное (вычёркиваем ноль). В разряде сотен может стоять любая цифра, отличная от нуля; в разряде единиц — любая цифра. Всего имеется 9 • 10 возможностей, поэтому общее количество особенных чисел 90.

Ответ: 90 чисел.