Задача 1: Как, ничего не измеряя, отрезать от ленты длиной 1 м 44 см кусок длиной 27 см?

Решение: Сложим ленту вдвое, потом – еще раз вдвое, потом – еще и еще раз. В результате линии сгибов разделят ленту на 16 равных частей длиной по 144:16 = 9 см каждая. Осталось отрезать три таких части.

Задача 2: Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число задумал Вася? Постарайтесь перечислить все возможные варианты ответа и объяснить, как Вы рассуждали.

Решение: Саша отнял от результата Жени либо столько же, сколько Жен прибавил к результату Коли, либо на единицу больше, либо на единицу меньше. Поэтому результат Коли равен либо 70, либо 71, либо 72. Из трех этих чисел на 5 делится только число 70, а на 6 – только число 72. Поэтому Вася задумал либо число 70:5 = 14, либо число 72:6 = 12.

Задача 3: Четыре приятеля собирали грибы. На вопрос: «Сколько грибов вы вместе собрали?" они ответили так. Петя: «Не меньше ста". Вася: «Белых – двадцать, а остальные я не считал". Миша: «Вас ошибается". Юра: «Не больше 99". Сколько ребят сказали правду? Ответ объясните.

Решение: Заметим, что если Петя прав, то Юра неправ, и наоборот. Кроме того, если Вася прав, то Миша неправ, и наоборот. Таким образом, в паре Петя – Юра ровно один мальчик сказал правду и в паре Вася – Миша тоже. Получается, что правду сказали ровно двое.

Задача 4: На рисунке справа изображен план города. В городе четыре кольцевых автобусных маршрута. Автобус 1 ходит по маршруту В-Г-Д-Е-Ж-З-В, длина которого – 17 км. Автобус 2 ходит по маршруту А-Б-В-Е-Ж-З-А, длина которого – 12 км. Автобус 3 ходит по маршруту А-З-Ж-Е-Д-Г-В-Б-А, длина которого – 20 км. Автобус 4 ходит по маршруту В-З-Ж-Е-В. Найдите длину этого маршрута и объясните, как Вы это сделали.

Решение: Обведем карандашом маршруты автобусов 1 и 2. Тогда все отрезки на рисунке окажутся обведенными один раз, кроме отрезков ЖЗ и ЖЕ, обведенных дважды, а общая длина проведенных линий составит 17 + 12 = 29 км. Теперь вычтем из этой суммы отрезки, входящие в маршрут 3. После этого отрезки ЗА, АБ, БВ, ВГ, ГД и ДЕ исчезнут, отрезки ЖЗ и ЖЕ будут входить в разность по одному разу, и, кроме того, там останутся отрезки ЗВ и ВЕ, по которым маршрут 3 не проходит. Но отрезки ЗВ, ВЕ, ЖЕ и ЖЗ вместе как раз и составляют маршрут 4. Значит, его длина равна 29 – 20 = 9 км.

Задача 5: В кучке – 64 спички. Двое по очереди делают ходы. За один ход можно взять из кучки любое нечетное число спичек, меньшее 16, причем запрещается повторять уже сделанные ходы – как свои, так и соперника (то есть, если кто-то очередным ходом взял какое-то число спичек, то в дальнейшем ни он, ни его соперник, брать такое число спичек не могут). Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник, и как ему надо играть, чтобы выиграть?

Решение: По условию в игре есть ровно 8 разрешенных ходов: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Заметим, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64. Поэтому, независимо от того, как сложится игра, она закончится тогда, когда будут сделаны по разу все 8 разрешенных ходов. Ясно, что при этом последним будет ходить второй. Он и победит.