Задача 1: Слава взял у товарища книгу на три дня. В первый день он прочитал полкниги, во второй – треть оставшихся страниц, а в третий – количество страниц, равное половине количества страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Слава прочитать всю книгу?

Решение: После первого дня Славе осталось прочитать 1/2 книги. Во второй день он прочитал 1/3 × 1/2 = 1/6 книги, а в третий день – (1/2 + 1/6)/2 = 1/3 книги. Поскольку 1/2 + 1/6 + 1/3 = 1, то Слава успел.

Задача 2: Имеется 19 каменных глыб весом 1,2 т каждая и 47 глыб весом 1,1 т каждая. Начальник станции хочет погрузить их в два вагона так, чтобы общий вес камней в них был одним и тем же. Сможет ли он сделать это, не дробя камни?

Решение: Общий вес глыб равен 19 × 1,2 + 47 × 1,1 = 74,5 т. Если бы их удалось разложить поровну в два вагона, то вес глыб в каждом равнялся бы 74,5:2 = 37,25 т. Но веса всех глыб кратны 0,1 т, а число 37,25 т – нет. Поэтому глыбы требуемым образом разложить нельзя.

Задача 3: Даны три различные цифры, отличные от нуля. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, получится 176. Найдите эти цифры (укажите все возможные варианты).

Решение: Запишем сумму указанных в условии двузначных чисел: . По условию 22(a + b + c) = 176, откуда a + b + c = 8. Теперь задача свелась к такой: найти все наборы из трех различных ненулевых цифр, сумма которых равна 8. Будем считать, что через a обозначена сама маленькая из цифр, через b – средняя по величине, через c – наибольшая. Тогда a = 1 (так как даже 2 + 3 + 4 > 8), следовательно, b + c = 7. Этому равенству удовлетворяют две пары цифр: b = 2, c = 5 и b = 3, c = 4. Таким образом, искомыми цифрами могут быть 1, 2, 5 или 1, 3, 4.

Задача 4: И сказал Кощей Ивану-царевичу: «Вот тебе два одинаковых листа в форме треугольника с равными сторонами. Каждый разлинован на 16 одинаковых треугольничков (см. рисунок). Сначала ты вырежешь из одного листа несколько фигур общей площадью в 15 треугольничков. Потом я отмечу одну из клеток второго листа, а ты должен будешь наложить свои фигуры на него так, чтобы они полностью закрывали все его треугольнички, кроме отмеченного. Обойдешься тремя фигурками – отпущу с миром. Обойдешься четырьмя или пятью – будешь у мен свинопасом. А ежели и пятью не обойдешься – голова с плеч!" Сможет ли Иван наверняка остаться в живых? А уйти с миром? Если да. то покажите, как Иван должен вырезать фигуры и пользоваться ими. Если нет, то объясните, почему.

Решение: Иван сможет уйти с миром, если вырежет три фигуры так, как показано на рис. 2. Сначала он наложит на второй лист самую большую из своих фигур так, чтобы отмеченный треугольничек остался непокрытым (нетрудно убедиться, что это всегда возможно). Чтобы оставить непокрытым угловой треугольничек, Иван вложит маленькую треугольную фигурку в выемку средней по величине фигуры, а среднюю фигуру – в выемку большой. В всех остальных случаях он накроет маленькой фигуркой угловой треугольничек, а среднюю фигурку положит так, чтобы ее выемка оказалась над отмеченным треугольничком.

Замечание. Одна из фигур Ивана обязательно должна быть одиночным треугольничком: иначе ему не удастся накрыть угловой треугольничек в случае, когда отмечен треугольничек, смежный с ним. Отсюда нетрудно вывести, что меньше, чем тремя фигурами, Ивану обойтись не удастся.

Задача 5: Компания ОГОГО обещает на каждый вложенный рубль через 10 лет выплатить 199619961996 × 19971997 рублей, а компания ЙОХОХО – 199719971997 × 19961996 рублей. Что выгоднее и почему?

Решение: Оба предложения одинаково выгодны, потому что 199619961996 × 19971997 = 1996 × 1997 × 100010001 × 10001 = 199719971997 × 19961996.