Задача 1: График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение: Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45, как и биссектриса первого и третьего координатных углов. Значит, ее угловой коэффициент равен 1. Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.

Задача 2: Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Решение: Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X – 7000)/3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X/3020 – 1 тугриков. Решая уравнение (x – 7000)/3000 = X/3020 – 1, получаем X = 604000 (руб.).

Задача 3: Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A² = B²(B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение: Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A ≠ 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B ≠ 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A² = B³. Отсюда следует, что B³ > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.

Задача 4: ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Решение: По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB. Поскольку треугольник CAK – равнобедренный,  ∠ KCA =  ∠ CKA =  ∠ CAB/2. Аналогично,  ∠ BCM =  ∠ BMC =  ∠ CBA/2. Таким образом,  ∠ KCM =  ∠ KCA +  ∠ ACB +  ∠ BCM =  ∠ ACB + ( ∠ CAB +  ∠ CBA)/2 = 90 + 45 = 135.

Задача 5: Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение: Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя. Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке. Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника. Поэтому X + 2B = 1 +  …  + 11 = 66, откуда X = 66 – 2B. Значит, число X должно быть четным. Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках. Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные – по одному разу. Поэтому 5A = 4X + (1 +  …  + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5. Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно. Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18. Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 – 6 = 12. Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две – из четных. Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа. Это означает, что число B должно быть нечетным. Но из доказанного выше равенства X = 66 – 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.