Задача 1: Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырех прямоугольников. Доказать, что число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, четно.

Решение: Пусть всего прямоугольников n, а число вершин (не совпадающих с вершинами квадрата – k. Тогда число углов прямоугольников равно 4n = 2k + 4 (т.к. в каждой вершине сходятся 2 угла. Поэтому k = 2n – 2.

Задача 2: Можно ли к 9999 приписать справа еще 4 цифры так, чтобы полученное восьмизначное число стало квадратом целого числа?

Решение: Нельзя. 9999*9999 < 99990000 < 99999999 < 10000*10000.

Задача 3: На столе лежит куча из 1001 камня. Из нее выкидывают камень и делят кучу на две. Затем из какой-либо кучи, содержащей более двух камней, снова выкидывают камень и снова делят кучу на две кучки, и т.д. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?

Решение: Нельзя. На столе всегда будет кучка, число камней в которой при делении на 4 не дает остаток 3. Действительно, две кучки с числом камней 4m + 3 и 4n + 3 могут получиться только из кучки 4(m + n + 1) + 3.

Второе решение. Число кучек плюс число оставшихся камней равно 1002. Если осталось n кучек по 3 камня, то n + 3n = 1002, что невозможно.

Задача 4: В четырехугольнике ABCD сумма углов ABD и BDC равна 180 градусов, а AD = BC. Доказать равенство углов BAD и BCD.

Решение: Рассмотрим треугольник DBE, равный треугольнику BDC. Точки A, B, E лежат на одной прямой. Треугольник ADE равнобедренный, поэтому углы BAD, BED и BCD равны.

Задача 5: В некоторой стране N > 1 городов. Между некоторыми из них проложены дороги. Известно, что если два города не соединены между собой, тогда найдется город, который соединен дорогой с ними обоими. Какое минимальное количество дорог может быть в этой стране?

Решение: Граф дорог связен, поэтому дорог не меньше N – 1. Пример с N – 1 дорогой: один город соединен со всеми остальными.