Задача 1: Можно ли расположить на плоскости 7 точек таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две, расстояние между которыми было бы равно 1?

Решение: Можно. Точки должны образовывать два равных ромба с общей вершиной острого угла, стороны и короткие диагонали которых равны 1. Расстояние между двумя вершинами, противоположными общей, тоже равно 1.

Задача 2: Параллелограмм составлен из трех равнобедренных треугольников, среди которых нет равных. Найдите величины его углов.

Решение: Ответ. Отношение углов может быть 2:3 (есть два существенно различных расположения) и 2:5 (одно расположение). Перебор возможных случаев показывает отсутствие других решений.

Задача 3: Для того, чтобы уравнение 1/x – 1/y = 1/n, (n натуральное) имело единственное решение в натуральных числах, необходимо и достаточно, чтобы n было простым числом. Доказать.

Решение: Всегда есть решение x = n – 1, y = n(n – 1). При n = km есть также решение x = k(m – 1), y = km(m – 1). При простом n y = sn (x < n, поэтому x не делится на n). Перенося член с y в правую часть и приводя к общему знаменателю, получаем, что s + 1 = n.

Задача 4: За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае, если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые положения. Можно ли организовать встречу так, чтобы при каждом новом размещении у каждого из них за столом были новые соседи?

Решение: Можно. Занумеруем дипломатов по кругу: 1,…, 7. Потом рассадим их через одного: 1,3,5,…; а затем через два: 1,4,7,….

Задача 5: Каждую грань кубика разделили на 4 квадратика, и каждый квадратик покрасили в один из трех цветов: синий, желтый или красный таким образом, что любые два соседних (общая сторона) квадратика оказались разного цвета. Доказать, что синих квадратиков не меньше 8.

Решение: В каждой вершине кубика сходятся три квадратика разных цветов. Поэтому квадратиков каждого цвета ровно 8.

Задача 6: Бак полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объема, во втором бидоне вода заняла 2/3 его объема, а в третьем – 3/4. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком минимальном объеме бака возможна такая ситуация?

Решение: Количество литров, попавших в бидон, делится на 2 и на 3, т.е. на 6. Поэтому объем бака делится на 18. Ответ: 18.

Задача 7: На плоскости лежат четыре точки. Докажите, что найдетс треугольник с вершинами в этих точках, у которого один из углов не больше 45 гр.

Решение: Если точка D лежит внутри треугольника ABC, то 6 углов в вершинах треугольника ABC в сумме дают 180 гр. Если ABCD – выпуклый четырехугольник,то один из его углов не больше 90 гр. Диагональ разбивает этот угол на два, один из которых не больше 45 гр.

Задача 8: Дан прямоугольник 3 × 4, который разделен на три равных вертикальных столбца, покрашенных каждый своим цветом (рис.1). Можно ли разрезать его на четыре части и сложить из них прямоугольник того же размера, цвета в котором располагаются как на рис.2:

Решение: Можно.