Задача 1: Oстап Бендер организовал в Нью-Васюках раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов профсоюза, причем Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну всем не членам. Оказалось, что существует единcтвенный способ раздать таким образом всех слонов. Какое наибольшее число слонов могло быть у О.Бендера?

Решение: Вопрос сводится к единственности решения уравнени 28x + 37y = N в натуральных числах. Если (x,y) – решение, то «ближайшими" к нему решениями в целых числах будут (x – 37,y + 28) и (x + 37,y – 28). Поэтому x < 38, y < 29. Значит, наибольшее N = 28*37 + 37*28 = 2072.

Задача 2: Доказать, что сумма длин расстояний от центра окружности до сторон вписанного в нее равнобедренного треугольника больше ее радиуса.

Решение: Если угол при вершине не меньше 60 гр., то уже удвоенное расстояние p до боковой стороны не меньше радиуса r. Если же угол при вершине меньше 60 гр., то p – длина катета треугольника с гипотенузой r, а разность между радиусом и расстоянием до основания треугольника равна длине катета в треугольнике, гипотенуза которого – хорда, на которую опирается половина угла при вершине. Она меньше r.

Задача 3: Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги так разбить на доминошки 1 × 2, чтобы каждая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?

Решение: Можно. Идея примера: плоскость разрезается на 4 части биссектрисами координатных углов. В частях, содержащих ось Ox, доминошки лежат горизонтально, а в остальных двух – вертикально.

Задача 4: На отрезке [0,1] задано такое множество M, являющеес объединением нескольких непересекающихся отрезков, что расстояние между двумя любыми точками из M, не равно 0,1. Доказать, что сумма длин отрезков, составляющих M, меньше 0,55.

Решение: Сдвинем эти отрезки на 0,1 вправо. Полученные отрезки не пересекаются с исходными, а длины их не изменятся. Все отрезки расположены на [0;1,1], поэтому их общая длина не больше 1,1.

Задача 5: На доске написано число 2. Каждый из двух игроков своим ходом заменяет число n на число n + d, где d – делитель числа n, меньший его. Выигрывает тот, кто напишет на доске число 19891988 (писать большие числа запрещается). Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

Решение: Выиграет первый. Предположим, что выиграет второй. Тогда после ходов 3-4-5-6 при любых ходах первого второй может выиграть. Тогда после ходов 3-4-6 при любых ходах второго первый может выиграть. Противоречие. (Можно рассмотреть два случая: позиция 6 выигрышная; позиция 6 проигрышная, первый может по своему желанию либо попасть, либо не попасть в нее).

Задача 6: Каждая точка окружности окрашена в один из двух цветов красный или синий. Доказать, что в эту окружность можно вписать равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.

Решение: Среди пяти вершин правильного пятиугольника, вписанного в окружность три обязательно окрашены в один цвет. Они и образуют равнобедренный треугольник.

Задача 7: Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее 2/3 всего класса.

Решение: Пусть ученик A занимается в первом кружке. Если есть ученик, не посещающий этот кружок (иначе все очевидно), то он вместе с A занимается во втором (причем одном и том же для всех учеников, не посещающих первый). Аналогично, любой ученик, не посещающий второй кружок занимается в первом. Если один из этих кружков содержит всех членов другого, то туда ходят все. В противном случае есть ученик B, посещающий первый и не посещающий второй кружок, и ученик C, у которого все наоборот. B и C должны ходить в третий кружок. Легко видеть, что этот третий кружок один и тот же для любой такой пары. Итак, есть три кружка, которые дважды покрывают весь состав класса.

Задача 8: В треугольник ABC вписана окружность, а вокруг нее описан квадрат. Доказать, что внутри треугольника лежит более половины периметра квадрата.

Решение: Дополнение до треугольника состоит из трех полуплоскостей. Две вершины квадрата не могут лежать в одной полуплоскости, так как отрезок, их соединяющий, касается окружности. Значит, одна из вершин квадрата, а вместе с ней и четверть периметра квадрата лежит внутри треугольника. Если вершина квадрата лежит снаружи треугольника, то сумма отрезков касательных, проведенных из этой вершины, лежащих внутри треугольника, равна гипотенузе треугольника, катетами которого служат отрезки этих же касательных, лежащие вне треугольника. Поэтому внутри треугольника лежит не менее трети от оставшихся трех четвертей периметра.