Задача 1: Доказать, что для каждого натурального n > 2 уравнение 1/n = 1/x + 1/y имеет не менее двух решений в натуральных числах.

Решение: x = y = 2n; x = n + 1, y = n(n + 1).

Задача 2: В четырех ящиках лежит разное число монет. В любые три ящика можно добавить по одной монете. Как за несколько таких операций уравнять число монет во всех ящиках?

Решение: Расположим ящики в порядке возрастания числа монет. Сначала, добавляя монеты в 1,2,3-й ящики, добьемся равенства чисел монет в 3-м и 4-м ящиках. Потом, добавляя монеты поочередно в 1,2,3-й и 1,2,4-й, добьемся равенства во 2-м, 3-м и 4-м. Затем добавляем монеты поочередно в 1,2,3-й ; 1,2,4-й ; 1,3,4-й.

Задача 3: На шахматной доске расположено 13 ладей так, что каждое поле находится под ударом хотя бы одной из них. Какое максимальное количество ладей можно снять с доски, чтобы все поля доски по-прежнему оставались под ударом? (Ладья бьет и поле, на котором стоит).

Решение: Если на всех вертикалях стоит хотя бы по одной ладье, то можно оставить 8 ладей. В противном случае во всех горизонталях стоит по ладье, иначе на пересечении «безладейных" вертикали и горизонтали было бы «небитое" поле. И в этом случае можно оставить 8 ладей.

Задача 4: Найдется ли на плоскости множество точек, у каждой из которых в этом множестве имеется ровно три ближайших к ней.

Решение: Да. Пример можно получить, замкнув в кольцо шесть (или 5) ромбов, составленных из двух равносторонних треугольников. Вершины острых углов соседних ромбов соединяются отрезками длины, равной стороне ромба. Более простой, но бесконечный пример – вершины паркета из правильных шестиугольников.

Задача 5: Из доминошек 1 × 2 сложили прямоугольник 5 × 6. Всегда ли найдется вертикаль или горизонталь, не разрезающая ни одной доминошки?

Решение: Не всегда. Имеется контрпример.

Задача 6: По окружности написали 99 цифр и прочитали их по часовой стрелке, начиная с некоторого места. Получилось число, делящееся на 81. Докажите, что с какого бы места ни стали читать цифры, получитс число, делящееся на 81.

Решение: Сдвиг на одно место по окружности соответствует перестановке первой цифры числа X в начало (при этом получится число Y). Разность 10X – Y кратна числу 9 … 9 (99 девяток), которое делится на 81. Поэтому и Y делится на 81.

Задача 7: Можно ли из двух одинаковых кругов вырезать по остроугольному треугольнику с вершинами на окружности так, чтобы один из них мог поместиться целиком внутри другого?

Решение: Задача сводится к такой: если остроугольный треугольник лежит внутри окружности, то радиус описанной вокруг него окружности меньше радиуса данной. Будем двигать треугольник внутри окружности, пока одна из его вершин не попадет на окружность. Затем, повернем его вокруг этой вершины, пока одна из его сторон не станет хордой. Расстояния от центра окружности до двух вершин треугольника равны радиусу окружности, а до третьей – меньше радиуса. Поэтому центр описанной окружности находится ниже центра данной окружности, а ее радиус меньше.

Задача 8: Двое играют в такую игру: первый называет целое число от 2 до 9: второй умножает это число на произвольное целое число от 2 до 9; затем первый умножает результат на произвольное целое число от 2 до 9 и т.д. Выигрывает тот, кто первым получил результат больше 1993. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнер?

Решение: Выигрывает начинающий. Первым ходом он может назвать 9, вторым – число между 111 и 221, третьим ходом выигрывает (222 × 9 > 1993).