Задача 1: Играют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова прибавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму и так далее. Выигрывает тот, кто назовёт число 100. Кто выиграет при правильной игре, и как он должен играть?

Решение: Выигрывает второй. Стратегия: «добавляй до числа, кратного 10".

Задача 2: В классе 41 ученик написал по три контрольные работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, каждый ученик получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что, по крайней мере, 7 человек получили одинаковые отметки по всем трём контрольным, а другой, подумав, сказал, что таких учеников с одинаковыми отметками, наверное, будет 8. Кто из них прав?

Решение: Разобьём класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок: 3,4,5; 3,5,4; 4,3,5; 4,5,3; 5,3,4; 5,4,3 – всего 6 наборов различных отметок. Принцип Дирихле. Прав первый.

Задача 3: Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше, философов или математиков?

Решение: Обозначим через x число людей, являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков равно 7x, а число философов – 9x. Если x ≠ 0, то философов больше. Если x = 0, тогда ни тех, ни других нет вообще, то есть их поровну.

Задача 4: Каждая клетка таблицы 1999 × 1999 покрашена в один из двух цветов. За один ход разрешается все клетки любой строки (или столбца) перекрасить в тот цвет, который чаще встречается в этой строке (столбце). Удастся ли перекрасить всю таблицу в один цвет?

Решение: Это можно сделать так. Сначала перекрасим каждую строчку в тот цвет, который в ней чаще встречается. Затем также перекрасим столбцы.

Задача 5: Лентяй Петя выставляет (по одной) шашки на клетки доски 10 × 10 для стоклеточных шашек. Докажите, что в какой-то момент одна из имеющихся шашек сможет «съесть" другую шашку (по правилам шашечной игры).

Решение: Пусть осталась лишь одна незанятая клетка. Тогда одна из шашек может съесть ту, которая стоит рядом со свободной клеткой.

Задача 6: Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 – кубом целого числа.

Решение: В искомом числе 2 входит в степени, делящейся на 3, притом нечётной, а 3 – в чётной степени, дающей при делении на 3 остаток 2. Наименьшее такое число 2³ • 3² = 72.

Задача 7: На складе имелось 40 ящиков гвоздей по 30кг и 33 ящика по 25кг. Приезжавшие за гвоздями брали каждый 100 или 200 кг. При этом, кладовщик сумел удовлетворить все заявки, кроме последней, не вскрывая ни одного ящика. А последнюю заявку он не смог бы выполнить, даже если бы и вскрыл оставшиеся ящики. Сколько человек брали по 100кг гвоздей?

Решение: Заявку в 100кг можно выполнить, не вскрывая ящиков, только одним способом – выдать 4 ящика по 25кг, а заявку в 200кг – двумя способами – 5 ящиков по 30кг и 2 ящика по 25кг или 8 ящиков по 25кг. Теперь ясно, что ящики по 30кг шли только на заявки в 200кг, причём только пятёрками; из условия задачи следует, что перед последней заявкой на складе оставалось меньше 200кг гвоздей, и, следовательно, ящиков по 30кг либо не было совсем, либо было 5. Рассмотрим случай, когда таких ящиков не осталось. Тогда с их помощью первым способом было обеспечено 8 заявок по 200кг, на которые ушло дополнительно 16 ящиков по 25кг. Оставшиеся 17 ящиков по 25кг могли быть распределены следующими способами: 16 – на заявки в 200кг (1 остался), 8 – на заявку в 200 кг, 4 – на заявку в 100кг (5 осталось, и последняя заявка была в 200кг), 8 – на заявку в 200кг, 8 – на две заявки в 100кг (один остался), 12 – на 3 заявки в 100кг (5 осталось), 16 – на 4 заявки по 100кг (один остался). Таким образом, в рассматриваемом случае число заявок в 100кг может быть равно 0, 1, 2, 3 и 4. Аналогично рассматривается второй случай. Он не даёт новых возможностей. Окончательно имеем, что число заявок в 100кг могло быть любым от 0 до 4.

Задача 8: По проекциям восстановите маршрут мухи по ребрам куба.

Решение: Один из возможных вариантов