Задача 1: В параллелограмме ABCD на сторонах ВС и AD отмечены их середины – точки М и N. Отрезки AM и CN пересекают диагональ BD в точках К и L соответственно. Определить, в каком отношении эти точки делят диагональ.

Решение: На 3 равные части.

Задача 2: Верно ли, что 19981998 • 199919991999 < 199819981998 • 19991999?

Решение: Неверно. 19981998 • 199919991999 = 1998 • 1999 • 1001 • 1001001 = 199819981998 • 19991999

Задача 3: Незнайка купил в магазине четыре одинаковых игральных кубика. Развлекаясь, он решил прикладывать их друг к другу гранями с одинаковым числом очков. В результате на столе появилась следующая конструкция (см рис). Знайка посмотрел на конструкцию Незнайки и заявил, что тот опять что-то напутал. Прав ли Знайка?

Решение: Прав. Перенумеруем кубики слева направо и сверху вниз 1, 2, 3, 4. Кубик 4: у него видны три грани – 1, 2, 3, поэтому он может соприкасаться только гранями 4, 5, 6. Но в кубике 3 видны грани 4 и 5, поэтому между кубиками 3 и 4 грань 6. У кубика 2 видны грани 5 и 6, поэтому между кубиками 2 и 4 – грань 4. Таким образом на кубиках определяются пары противоположных граней 1 – 4, 2 – 6, 3 – 5. Но тогда 1-й кубик должен соприкасаться с 3-м гранью 3, а она расположена сверху. Имеем противоречие с правилами. Можно заметить также, что у кубиков 2 и 3 различные ориентации граней, хотя пары противоположных граней и совпадают.

Задача 4: Двое путников отправились одновременно в один и тот же путь. Первый половину расстояния проехал на телеге, а вторую половину прошел пешком. Второй половину затраченного времени шел пешком, а вторую половину – ехал на телеге. Кто из них проделал весь путь быстрее, если скорость телеги 7км/ч, а пешком оба ходят со скоростью 5 км/ч.

Решение: 1-й: , 2-й : . Тогда

Задача 5: На клетчатой бумаге в узлах сетки отмечены точки A, B и C (см. рис). Опустите перпендикуляр из точки A на прямую BC, пользуясь только линейкой (с закругленными концами).

Решение: Поставить точку D в один из узлов сетки так, чтобы разность в клетках по вертикали между точками A и D была равна разности в клетках по горизонтали между клетками B и C. И аналогично – по горизонтали.

Задача 6: В стране Мульти-Пульти выпущены в обращение банкноты достоинством 43 бакса. Малыш и Карлсон, имея по пачке таких банкнот, зашли в кафе. Карлсон заплатил ими без сдачи за 5 баночек Coca-Cola и 16 пирожных. Малыш заказал 3 банки Coca-Cola и одно пирожное. Докажите, что он тоже сможет расплатиться этими банкнотами за заказ без сдачи. (Банка Coca-Cola и пирожное стоят целое число баксов.)

Решение: ; 16(3k + 1p) = 5k + 16p + 43k

Задача 7: Игра начинается с числа 40. Первый игрок вычитает из него 2 либо делит его на 2. Второй игрок с полученным числом также проделывает любую из этих операций, затем снова ходит первый, и т.д. Проигравшим считается тот, у кого получается нечетное число или ноль. Найти выигрышную стратегию для какого-либо игрока или доказать, что ее не существует.

Решение: Первый. Идти по числам, не делящимся на 4 (т.е.38, 34, …, 2). Тогда у него выигрыш.

Задача 8: В поход пошли 56 математиков и в целое число раз меньше физиков. Они разместились в нескольких палатках, в каждой столько человек, сколько палаток. Сколько было физиков?

Решение: 8 физиков. Общее число участников похода – точный квадрат. Достаточно перебрать 64, 81 и 100 и убедиться, что годится только 64.

Задача 9: В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли так расставить между ними знаки  +  и  – , чтобы значение полученного выражения было равно 0?

Решение: Нельзя. Нечетных слагаемых - нечетное количество, следовательно общая сумма нечетна.

Задача 10: Некий человек нанял работника на год, обещал дать ему 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству 5 р. И кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.

Решение: 4 рубля 80 копеек. За 5 месяцев, которые не работал, заработал бы 7 рублей, значит в 1 месяц заработок составляет 1 рубль 40 копеек. За 7 месяцев заработок составит 9 рублей 80 копеек.