Задача 1: Можно ли треугольник с углами 105, 15, 60 разрезать на три равнобедренных?

Решение: Можно. Отрезаем равносторонний треугольник, остается треугольник с углами 45, 120 и 15 градусов. Затем отрезаем треугольник с углами 15, 15 и 150 градусов. Остается треугольник с углами 30, 30 и 120 градусов.

Задача 2: Дан равноугольный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что если AB = DE, BC = EF и CD = FA, то диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Решение: Все углы шестиугольника равны по 120 градусов. Доказать, что AC = DF, BD = EA, тогда четырехугольники ACDF и BDEA – параллелограммы, диагонали которых пересекаются в одной точке.

Задача 3: На крайней правой клетке доски 1 × 22 стоит фишка. Два игрока по очереди двигают эту фишку (вправо или влево) на любое число клеток, которое еще не встречалось при выполнении предыдущих ходов. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Решение: Выигрывает первый. Своим первым ходом он должен поставить фишку на крайнюю левую клетку доски (ход на 21 клетку), а затем, на каждый ход соперника, отвечать ходом, дополняющим величину хода соперника до 21 (например, 14 + 7 = 21). Таких пар ходов 10.

Задача 4: Петя пытается расставить в таблицу 4 × 6 различные натуральные числа, не превосходящие 30 так. чтобы каждая пара чисел в клетках с общей стороной имела общий делитель больше 1. Докажите, что это ему не удастся.

Решение: Каждое число в таблице имеет не менее двух соседей. А числа 1, 11, 13, 17, 19, 23 и 29 не имеют среди остальных чисел от 1 до 30 двух соседей таких, с которыми они имели бы общий делитель , больший 1. Итого, для 24 клеток таблицы остается только 23 числа, т.е. чисел не хватит.

Задача 5: Докажите, что последняя ненулевая цифра числа 1998! – четна.

Решение: Поскольку в числе 1998! двоек больше, чем пятерок, то не все они в произведении дадут 0.

Задача 6: Можно ли раскрасить 16 шахматных коней в четыре разные масти: вороные, соловые, гнедые и каурые - и расставить их на доске 4 × 4 так, чтобы вороные не били соловых, соловые - гнедых, гнедые - каурых, а каурые - вороных?

Решение: Нельзя. Назовем вороных и гнедых коней черными, а соловых и каурых – белыми, тогда по условию черные не должны бить белых и наоборот. У нас есть маршрут между любыми двумя клетками. Пройдем по нему от клетки, занятой черным конем, до клетки, занятой белым конем. Где-то на маршруте цвет коня сменится, т.е. найдутся белый и черный кони, которые бьют друг друга.

Задача 7: На 20 карточках написаны натуральные числа от 1 до 20. Из этих карточек составили 10 дробей. Какое наибольшее число этих дробей может иметь целые значения?

Решение: Числа 11, 13, 17, 19 не имеют простых делителей среди чисел от 1 до 20, поэтому как минимум две дроби с участием этих чисел будут несократимыми. Таким образом 19/17 и 11/13 не целые. Остальные 8 могут быть целыми. 15/5, 9/3, 18/6, 16/8, 12/4, 20/10, 14/7, 2/1.

Задача 8: Можно ли расставить по кругу 8 чисел так, чтобы сумма любых 3 подряд идущих чисел была положительна, а сумма любых 5 подряд идущих – отрицательна?

Решение: Допустим, что такая расстановка возможна. Расставим по кольцу 24 числа, повторив искомые 8 чисел три раза. Тогда сумма всех чисел на кольце (исходном) положительна. Теперь расставим по кольцу 40 чисел, повторив искомые 8 чисел пять раз. Тогда сумма всех чисел на исходном кольце отрицательна. Получено противоречие. Ответ: Нельзя