Задача 1: Коля , Ваня и Петя собирали грибы. Коля нашел 10 сыроежек и столько белых, сколько подберезовиков нашел Ваня. Ваня нашел лисичек в два раза меньше, чем сыроежек Коля, и 3 подберезовика. Петя нашел только лисички, которых у него было больше, чем белых у Коли, но меньше, чем лисичек у Вани. Сколько грибов собрали ребята?

Решение: Арифметическая задача. Коля – 10 сыроежек  +  3 белых; Ваня – 5 лисичек и 3 подберезовика, Петя – 4 лисички (меньше 5 и больше 3). Всего грибов 13 + 8 + 4 = 25. Ответ – 25 грибов

Задача 2: Найти наименьшее число, которое начинается с цифр 1998 и делится на все числа от 1 до 9.

Решение: Если число таково, то оно делится на 5 • 7 • 8 • 9 = 2520. Деля «уголком", получаем ответ 1998360

Задача 3: На окружности расположены 1997 белых точек и одна красная. Рассмотрим всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких среди них будет больше: с красной вершиной или без нее?

Решение: Многоугольников с красной вершиной больше. Каждому многоугольнику без красной вершины можно поставить в соответствие его же  +  красная вершина. Но есть ведь и треугольники с красной вершиной, которым не соответствует ни один многоугольник без нее.

Задача 4: По окружности неподвижного круга перекатывается без скольжения другой круг того же радиуса, что и неподвижный круг. Сколько раз обернется вокруг своей оси движущийся круг за то время, в течение которого он один раз прокатится вокруг большого круга?

Решение: Ответ: 2 раза

Задача 5: В таблице 10 × 10 расставлены натуральные числа. В каждой строке подчеркнули наибольшее натуральное число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчеркнутые числа подчеркнуты два раза. Докажите, что все числа в таблице равны.

Решение: 1. Докажем, что все подчеркнутые числа равны. Пусть это не так, т.е. имеются два подчеркнутых числа, таких. что a < b. Пусть число с стоит в одной строке с a и в одном столбце с b. Тогда a ≥ c и b ≤ c, но тогда b ≤ a. Полученное противоречие показывает, что все подчеркнутые числа равны.

2. Рассмотрим теперь любое число из таблицы. Оно не меньше максимального в своей строке и не больше минимального в своем столбце. А такие числа все равны (п.1) Значит и все числа в таблице равны.

Задача 6: 40 малышей в детском саду строят из кубиков двух цветов башню, высотой 5 кубиков (каждый малыш строит свою башню). Докажите, что найдутся хотя бы две одинаковые башни.

Решение: Принцип Дирихле. Всего различных башен 32 – 2 одноцветных, 2 × 5 с одним кубиком другого цвета, 2 × 10 – с двумя кубиками другого цвета. А башен – 40.

Задача 7: Двое по очереди, вдоль углублений, ломают шоколадку 3 × 5. Каждый съедает все плитки 1 × 1, которые образуются после его хода. Выигрывает тот, кто съест больше плиток 1 × 1. Кто, начинающий или его партнер съест больше шоколада?

Решение: Второй. Достаточно показать, что действуя симметрично, второй съест не меньше первого, а так как плиток 1 × 1 нечетное количество, то ничьей быть не может.

Задача 8: Можно ли от куска ленты длиной 16/31 метра отрезать ровно полметра, пользуясь только складыванием пополам?

Решение: Можно. Будем отрезать не полметра ленты, а ту часть, которая должна остаться – 1/62 метра, а так как 1/62 = 1/32 • 16/31, то отрезать надо 1/32 часть куска. Поэтому, достаточно сложить ленту 5 раз пополам, и одну часть отрезать.