Задача 1: В параллелограмме проведены биссектрисы углов между диагоналями, докажите, что точки пересечения биссектрис со сторонами параллелограмма являются вершинами ромба.

Решение: Доказать, что отрезки биссектрис делятся точкой пересечения диагоналей пополам.

Задача 2: В результате умножения пятизначного числа на 9 получилось число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите все такие числа.

Решение: 10989 × 9 = 98901

Задача 3: Можно ли из фигурок вида, приведенного на рисунке справа, составить какой-нибудь квадрат?

Решение: Можно составить квадрат 10 × 10.

Задача 4: Две из четырех монет весят по 10 г, еще две – по 9 г. Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающие разность масс грузов, положенных на чашки. Как, сделав одно взвешивание, найти хотя бы одну 10-граммовую монету?

Решение: Взвешиваем 2 монеты на одной чашке и одна монета – на другой. Разница может быть 9 + 9 – 10 = 8, 9 + 10 – 10 = 9, 9 + 10 – 9 = 10 и 10 + 10 – 9 = 11 грамм. Отсюда выбирается монета.

Задача 5: На экране компьютера – 10-значное число без нулей в записи. При стирании любой цифры оставшиеся части сдвигаются (например, из числа 132 вычеркнули цифру 3, получается число 12). Докажите, что можно стереть 8 цифр так, чтобы оставшееся двузначное число делилось на 11.

Решение: Дирихле. Две цифры одинаковые.

Задача 6: Петр и Сидор сделали в тире по 5 выстрелов по мишени и выбили следующие очки: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Первыми тремя выстрелами они выбили одинаковое число очков. А последними тремя Петр выбил в три раза больше, чем Сидор. Куда попал каждый из них третьим выстрелом?

Решение: Минимальная сумма 2 + 3 + 4 = 9 очков, 10 очков Сидор выбить не мог, так как максимальная сумма очков в трех выстрелах 28, поэтому Сидор выбил в последних трех выстрелах 9 очков, а Петр 10 + 9 + 8 = 27. Значит за первые два выстрела мальчики могли выбить 9, 8, 5 и 4 очков. Но минимальная разница между результатами третьего выстрела равна 4 очкам (8 – 4). Поэтому мальчики выбили один 9 + 8, а второй – 4 + 5 очков. Далее легко подбирается: Петр (5, 4, 10, 9, 8), Сидор (9, 8, 2, 3, 4 ). Ответ: Петр выбил 10 очков, а Сидор – 2 очка.

Задача 7: Целые числа от 1 до 6000 записали в новом порядке: сперва все кратные 2 по возрастанию (то есть 2, 4, 6,...), затем все из оставшихся кратные 3 по возрастанию, затем – оставшиеся кратные 5, потом – кратные 7 и т.д. На каком месте теперь стоит число 1001?

Решение: 3000 делятся на 2, еще 1000 делится на 3, но не делится на 2, еще 400 (1200 – 600 – 200) делятся на 5, но не делятся на 2 и на 3. Так как 1001 делится на 7 и является 143-м числом в среде делящихся на 7, то легко проверить, что из них вычеркиваются 71 число, делящееся на 2, 24 числа из оставшихся, делящиеся на 3, 9 из оставшихся, делящиеся на 5. Таким образом из 143 чисел вычеркивается 104 числа и остается 39. Ответ Число 1001 будет располагаться на 3000 + 1000 + 400 + 39 = 4439 месте. Ответ: На 4439 месте.

Задача 8: Дан набор костей домино. Можно ли все кости домино выложить в цепочку так, чтобы любые две соседние клетки различных костей домино в сумме давали нечетное число очков?

Решение: Нельзя. Четных клеток 4 × 8, а нечетных 3 × 8.