Задача 1:

Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирь. Назовем натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее число средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

(Д. Кузнецов)

Задача 2:

Даны две окружности, касающиеся внутренним образо в точке N. Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке K, пересекает внешнюю окружность в точках A и B. Пусть M – середина дуги AB, не содержащей точку N. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK, не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

(Т. Емельянова)

Задача 3:

На плоскости даны два таких конечных набора выпуклых многоугольников P₁ и P₂, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку, и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

(В. Дольников)

Задача 4:

Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое число баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участниками баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри может так определять сложность вопросов, чтобы места между участниками распределялись любым наперед заданным образом.

При каком наибольшем числе участников это могло быть?

(С. Токарев)

Задача 5:

Приведенные квадратные трехчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа  α  и  β , что для любого действительного x будет выполняться неравенство  α f(x) +  β g(x) > 0.

(С. Берлов, О.Подлипский)

Задача 6:

a и b – различные натуральные числа такие, что ab(a + b) делится на a² + ab + b². Докажите, что .

(С. Берлов)

Задача 7:

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причем из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединенного дорогами со всеми остальными. Назовем множество городов D доминирующим, если любой не входящий в D город соединен дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в любом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на 2001 – k республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

(В. Дольников)

Задача 8:

Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A, B и C и вторично пересекает ребра SA, SB и SC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках A₁, B₁ и C₁, пересекаются в точке O. Докажите, что O – центр сферы, описанной около тетраэдра SA₁B₁C₁.

(Л. Емельянов)