Задача 1:

При некотором натуральном k > 1 нашлись взаимно-простые числа a и b, a > b, что a_k – b_k есть степень a – b. Чему могло равняться a – b?

(С.А.Злобин)

Задача 2:

Для положительных чисел x, y, z выполняется равенство Докажите, что

(С.А.Злобин)

Задача 3:

В компании у каждых двух людей ровно пять общих знакомых. Докажите, что количество знакомств (пар знакомых) кратно трем.

(Ю.М.Лившиц)

Задача 4:

Докажите, что поверхность кубика нельзя оклеить в один слой без пропусков 23 одинаковыми прямоугольниками. Перегибать прямоугольники разрешается по линиям, параллельным сторонам.

(С.Г.Волченков)

Задача 5:

Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k > 2 число p² + kpq + q² – точный квадрат. Докажите, что (p – 2)(q – 2) ≤ k + 2.

(И.И.Богданов, С.Л.Берлов)

Задача 6:

У каждого из двух равных правильных додекаэдров отметили по 9 вершин. Докажите, что первый додекаэдр можно так совместить со вторым, чтобы по крайней пять его отмеченных вершин совпали с отмеченными вершинами второго.

(С.Г.Волченков)

Задача 7:

A₁, B₁ и C₁ – проекции точки P, лежащей внутри остроугольного треугольника ABC, на стороны BC, CA и AB соответственно. Прямая A₁C₁ пересекает прямую AC в точке K. Описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ вторично пересекает сторону AC в точке L. Докажите, что KP ⊥ BL.

(Д.Джукич)

Задача 8:

На съезде учителей делегаты сидели в 50 рядов по 100 человек (расположенных в виде прямоугольника). Ни у одного из делегатов нет в карманах долларов и рублей одновременно. Каждый делегат выяснил, что у всех его соседей справа, слева, спереди и сзади в сумме столько же рублей, сколько и долларов. Докажите, что у каждого делегата в карманах нет ни долларов, ни рублей.

(Р.Садыков, Д.Шаповалов)

Задача 9:

Через центр окружности  ω  с центром O проведены 7 прямых. В каждый из 14 углов, на которые они разбивают плоскость, вписано по окружности так, что каждая окружность касается сторон своего угла в точках, лежащих на окружности  ω . Обозначим эти точки A₁, …, A₁₄ (в том порядке, в котором они идут на окружности по часовой стрелке). На лучах OA_i (i = 1,2, … ,14) выбраны точки B_i, лежащие вне окружности  ω , таким образом, что отрезки B₁B₂, B₂B₃, …, B₁₃B₁₄ касаются окружностей, вписанных в соответствующие углы. Докажите, что отрезок B₁₄B₁ тоже касается окружности, вписанной в свой угол.

(Д.Джукич)

Задача 10:

Какое максимальное число действительных решений может иметь уравнение , если известно, что множество его решений в действительных числах конечно?

(А.Я.Белов)