Задача 1:

Докажите, что у каждого многогранника можно выбрать три пары ребер так, чтобы ребра в каждой паре скрещивались.

(И.С. Рубанов)

Задача 2:

На катетах AC, BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрали соответственно точки K, L и M так, что углы AMK и LMB равны. Докажите, что KM + LMM ≤ AB.

(А. Кислицын)

Задача 3:

Докажите, что число 8ⁿ + 2ⁿ + 1 ни при каком натуральном n не является квадратом натурального числа.

Задача 4:

Докажите, что при любых действительных a и b хотя бы одно из двух уравнений x⁴ + (a – 2)x² – bx + 1 = 0 и x⁴ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0 имеет решение.

(Ф.Л. Бахарев)

Задача 5:

Кроме привычной нам температурной шкалы Цельсия есть температурная шкала Фаренгейта. Повышение температуры на 1 градус Цельсия означает ее повышение на 1,8 градуса Фаренгейта. Известно, что 10 по Цельсию и 50 по Фаренгейту – одна и та же температура. Какая температура выражается одинаковым числом градусов и по Цельсию, и по Фаренгейту?

Задача 6:

В однокруговом турнире два участника покинули соревнования после пятого тура. В итоге в турнире было сыграно 38 игр. Успели ли эти двое сыграть между собой?

(Болгария, 1982)

Задача 7:

Найдите все решения ребуса СУК × СУК + СУК = БАРСУК, где одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, а разными – разные.

(И.С. Рубанов)

Задача 8:

Король стоит на поле a1 шахматной доски. Двое по очереди передвигают его, стараясь попасть на клетку h8. При этом тот, кто ходит первым, может делать одновременно не более двух, а его партнер – не более трех обычных шахматных ходов королем. Кто выиграет при правильной игре?

(С.Г. Волченков)

Задача 9:

Коровы пасутся на лугу, на котором трава достигла определенной высоты и продолжает расти непрерывно. 15 коров могут съесть траву с трех соток за 4 дня, а 32 коровы могут съесть траву с четырех соток за 2 дня. Сколько коров нужно, чтобы съесть всю траву на площади 6 соток за 3 дня?

Задача 10:

Для произвольных положительных чисел a, b и c докажите неравенство: