Задача 1:

В выпуклом многоугольнике A₁A₂A_n на стороне A₁A₂ выбрана точка B₁, на стороне A₂A₃ – точка B₂, , на стороне A_nA₁ – точка B_n таким образом, что и многоугольники A₁A₂ … A_n и B₁B₂ … B_n подобны. Докажите, что многоугольник A₁A₂ … A_n – правильный.

(И.И. Богданов)

Задача 2:

Каково наименьшее возможное число ребер в графе со 100 вершинами, среди любых 11 вершин которого найдется одна, соединенная с остальными 10 из них?

(Р. Федоров)

Задача 3:

На съезде учителей математики делегаты сидели в 50 рядов по 100 человек (расположенных в виде прямоугольника). Ни у одного из делегатов нет в карманах долларов и рублей одновременно. Каждый делегат выяснил, что у всех его соседей справа, слева, спереди и сзади в сумме столько же рублей, сколько и долларов. Докажите, что у каждого делегата в карманах нет ни долларов, ни рублей.

(Р. Садыков, Д. Шаповалов)

Задача 4:

Задача 5:

A₁, B₁ и C₁ – проекции точки P, лежащей внутри остроугольного треугольника ABC, на стороны BC, CA и AB соответственно. Прямая A₁C₁ пересекает прямую AC в точке K. Описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ вторично пересекает сторону AC в точке L. .

(Д. Джукич)

Задача 6:

Конь стоит в левой нижней клетке шахматной доски 100 × 100. Двое по очереди передвигают его, стараясь попасть в правую верхнюю клетку. При этом первый может делать одновременно от одного до n обычных шахматных ходов конем, а второй – от одного до m ходов. При каких m и n, не превосходящих 40, первый может выиграть независимо от игры второго?

(С.Г. Волченков)

Задача 7:

Задача 8:

Задача 9:

Задача 10:

Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство:

(В.В. Замятин)