Задача 1:

На множестве целых чисел определена операция *. Известно, что для любых целых a,b,c выполняются следующие условия:

Найдите 2000*2067.

Задача 2:

С рядом из нулей и единиц разрешается проделывать такую операцию: несколько (может быть, ни одного) идущих подряд с начала последовательности нулей заменить на единицы, а следующий за ними знак заменить на противоположный (1 на 0, а 0 на 1). За какое наименьшее количество таких операций из 20 единиц можно получить одни нули?

Задача 3:

В некотором государстве 4nаэропортов, из каждого аэропорта выходит ровно 3 авиалинии (авиалиния соединяет два аэропорта). Из любого аэропорта можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Пусть K – количество способов продать все авиалинии трем авиакомпаниям таким образом, чтобы из каждого аэропорта выходили три авиалинии разных авиакомпаний. Докажите, что K ≤ 3 • 2³n.

Задача 4:

Про натуральные числа x, y и z известно, что (z + 1)x² + x = zy² + y. Докажите, что y – x является точным квадратом.

Задача 5:

Докажите, что отношение периметра описанного четырехугольника к сумме его диагоналей не меньше, чем .

Задача 6:

Найдите все такие многочлены P(x) с целыми коэффициентами, что P(n – 1) + P(n + 1) делится на P(n) для бесконечного множества натуральных n.

Задача 7:

Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой полосе ширины 1. Первый ходит одним крестиком, второй – сотней ноликов (не обязательно подряд). Цель первого – получить три крестика, один из которых стоит точно посередине между двумя другими, цель второго – помешать первому это сделать. Докажите, что первый может выиграть за 40 ходов, как бы ни играл второй.

Задача 8:

Дан пятиугольник ABCDE в котором AB = BC и  ∠ A =  ∠ C = 90. Точка Fна стороне ED такова, что . Докажите, что  ∠ ACF =  ∠ ABE.

Задача 9:

Из каждой вершины (не обязательно выпуклого) многоугольника можно провести диагональ длины, не превосходящей 1, целиком лежащую внутри многоугольника. Докажите, что у этого многоугольника найдется сторона, длина которой не превосходит 1.

Задача 10:

Пусть n ≥ 2 – натуральное число. Докажите, что