Задача 1:

Имеются четыре компьютера, соединенных в сеть, каждый с каждым. В начальный момент на каждый компьютер пришло по важной новости (на каждый – своя). Каждую секунду компьютер может или передавать все известные ему новости на соседний компьютер, или принимать соответствующую информацию с соседнего компьютера, или бездействовать. Каким образом за наименьшее время все компьютеры могут получить все имеющиеся в системе новости?

Задача 2:

Последовательность задана условиями a₁ = 1; a_n = a_n – 1 – n, если a_n – 1 > n; в противном случае a_n = a_n – 1 + n. Найдите наименьший номер n такой, что a_n = 2000.

Задача 3:

Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой полосе ширины 1. Первый ходит одним крестиком, второй – сотней ноликов (не обязательно подряд). Цель первого – получить три крестика, один из которых стоит точно посередине между двумя другими, цель второго – помешать первому это сделать. Докажите, что первый может выиграть, как бы ни играл второй.

Задача 4:

В квадрат вписан четырехугольник P (на каждой стороне квадрата по одной вершине четырехугольника), в который в свою очередь вписали квадрат (также на каждой стороне четырехугольника по одной вершине квадрата), причем все 12 вершин этих четырехугольников различны. Могло ли так получиться, что у четырехугольника Pвсе длины сторон попарно различны?

Задача 5:

С рядом из нулей и единиц разрешается проделывать такую операцию: несколько (может быть, ни одного) идущих подряд с начала последовательности нулей заменить на единицы, а следующий за ними знак заменить на противоположный (1 на 0, а 0 на 1). За какое наименьшее количество таких операций из 20 единиц можно получить одни нули?

Задача 6:

В стране Элении n жителей. Они объединяются в кружки по интересам. В каждом кружке ровно три человека, при этом любые двое одновременно состоят ровно в одном кружке. Докажите, что n при делении на 6 дает в остатке либо 1, либо 3.

Задача 7:

Докажите, что сумма квадратов всех делителей натурального числа n (включая 1 и n) не может равняться (n + 1)².

Задача 8:

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников NAK, KBL, LCM и MDN, покрывают весь четырехугольник.