Задача 1:

Сколько существует операций *, заданных на множестве 1, 2, , 101 и обладающих следующими свойствами:

• a*a = a;
• (a*b)*(c*d) = a*d?

Задача 2:

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение средней линии треугольника, параллельной стороне BC, в точке A′. Точки B′ и C′ определяются аналогично. Докажите, что точки A′, B′, C′ лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой Эйлера треугольника.

Задача 3:

В связном графе 2n вершин, степень каждой вершины равна трем. Докажите, что количество способов раскрасить ребра этого графа в три цвета так, чтобы в каждой вершине сходились ребра разных цветов, не превосходит 3 • 2ⁿ.

Задача 4:

Для каких натуральных N найдутся такие натуральные x, y, z, что (x + y + z)² = Nxyz?

Задача 5:

Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой полосе ширины 1. Первый ходит одним крестиком, второй – сотней ноликов (не обязательно подряд). Цель первого – получить три крестика, один из которых стоит точно посередине между двумя другими, цель второго – помешать первому это сделать. Какого минимального числа ходов достаточно первому для того, чтобы обеспечить себе победу независимо от ходов второго?

Задача 6:

Найдите все непрерывные функции , которые при всех действительных x удовлетворяют уравнению f(f(x)) = f(x) + 2x.

Задача 7:

Пусть Q(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами, который не раскладывается в произведение многочленов ненулевой степени с рациональными коэффициентами. Докажите, что найдутся такие натуральное число n и простое число p, что число Q(n) делится на p, но не делится на p².

Задача 8:

Дан пятиугольник ABCDE в котором AB = BC и  ∠ A =  ∠ C = 90. Точка Fна стороне ED такова, что . Докажите, что  ∠ ACF =  ∠ ABE.

Задача 9:

Из каждой вершины (не обязательно выпуклого) многоугольника можно провести диагональ длины, не превосходящей 1, целиком лежащую внутри многоугольника. Докажите, что у этого многоугольника найдется сторона, длина которой не превосходит 1.

Задача 10:

Пусть n ≥ 2 – натуральное число. Докажите, что