Задача 1:

Докажите, что для любого натурального a > 2 существует такое простое p, что a³ + 1 делится на p, но при этом a + 1 не делится на p.

(Ш.Леман)

Задача 2:

В вершинах куба записаны числа (в каждой – по одному). Каждую секунду каждое число заменяется на среднее арифметическое своих соседей. В какой-то момент все числа оказались равны исходным. Верно ли, что исходные числа равны между собой?

(А.Я.Белов)

Задача 3:

На какое максимальное количество частей могут разбить плоскость n лучей?

(А.Я.Белов)

Задача 4:

Точки бесконечной полоски ширины 1 раскрашены в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одинакового цвета на расстоянии 2000.

(А.Я.Белов)

Задача 5:

Автомобиль едет со скоростью 90 км/ч под гору, 72 км/ч по ровной местности и 60 км/ч вверх. Известно, что дорогу из города A в город B этот автомобиль преодолевает за 5 часов, а на обратный путь тратит 4 часа. Найдите расстояние от A до B.

(Фольклор)

Задача 6:

На окружности отмечены 2n точек так, что никакие три хорды с концами в этих точках не пересекаются в одной точке, лежащей внутри окружности. Разобьем отмеченные точки на n пар, и в каждой паре соединим точки отрезком. Число точек пересечения проведенных n отрезков назовем характеристикой разбиения. Найдите среднее арифметическое характеристик по всем разбиениям.

(Сообщил И. Богданов)

Задача 7:

В ромбе ABCD угол B равен 60. Через точку D проведена прямая l, пересекающая прямые AB и BC в точках E и F соответственно. Прямые AF и CE пересекаются в точке M. Докажите, что угол между прямыми AM и CM не зависит от выбора прямой l.

(Предложил К.А.Кноп)

Задача 8:

В арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, есть член, десятичная запись которого содержит ровно две единицы (и, возможно, какие-то другие цифры). Докажите, что в ней есть член, десятичная запись которого содержит ровно 2000 единиц (и, возможно, какие-то другие цифры).

(А.С. Голованов)