Задача 1:

В компании из 200 человек любых пятерых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый из них сидел между двух знакомых (предполагается, что если A знаком с B, то B знаком с A). Какое наименьшее число пар знакомых может быть в этой компании?

Задача 2:

Докажите, что три прямые не могут разделить круг на семь равновеликих частей.

Задача 3:

Для некоторого набора положительных чисел a₁, a₂, …,a₂₅ в таблице 25 × 25 расставлены числа так, что на пересечении i-го столбца и j-ой строки стоит a_ia_j. Таблицу разбивают на 25 квадратов размера 5 × 5. Докажите, что для одной из двух диагоналей таблицы сумма чисел в квадратах, идущих вдоль нее, не меньше четверти суммы чисел во всех оставшихся квадратах.

Задача 4:

Даны 12 палочек одинаковой длины. Можно ли распилить их на 39 частей, из которых затем удастся составить 13 равных прямоугольных треугольников (должны быть использованы все получившиеся части)?

Задача 5:

На полке стоит Большая Советская Энциклопудия из 44 томов в каком-то порядке. За одну операцию разрешается переставить два соседних тома. Найти наименьшее N такое, что за N операций заведомо можно расставить тома в правильном порядке.

Задача 6:

Назовем разбиение клетчатой доски 2000 × 2000 на доминошки (то есть прямоугольники из двух клеток) удачным, если любое разбиение этой доски на доминошки имеет с данным четное число общих доминошек. Сколько существует удачных разбиений?

Задача 7:

Можно ли расставить в ряд натуральные числа от 1 до 97 (каждое по одному разу) в таком порядке, чтобы любые два соседних числа отличались ровно на 7 или на 9?

Задача 8:

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены вовне равнобедренные треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁ с углом 120 градусов при вершине. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не больше периметра треугольника ABC.