Задача 1:

Назовем разбиение клетчатой доски 200 × 200 на доминошки (то есть прямоугольники из двух клеток) удачным, если любое разбиение этой доски на доминошки имеет с данным четное число общих доминошек. Сколько существует удачных разбиений?

Задача 2:

В вершинах правильного 101-угольника расставлены единицы. За один ход разрешается выбрать четыре подряд стоящие числа, вычесть по 1 из двух средних и прибавить по 1 к двум крайним. Можно ли не более чем за 10000 таких ходов получить расстановку, в которой все числа, кроме одного, равны нулю?

Задача 3:

Для положительных a₁, a₂, …, a_n докажите неравенство , где S = a₁ + a₂ +  …  + a_n.

Задача 4:

В графе существует остовное дерево ровно с n висячими вершинами и остовное дерево ровно с m висячими вершинами, n ≤ k ≤ m. Докажите, что в этом графе существует остовное дерево ровно с k висячими вершинами.

Задача 5:

На окружности S выбраны точки A и B. Точка C – середина одной из дуг AB, а D – некоторая точка отрезка AB. Окружность S₁ касается отрезков BD (в точке B₁), CD и окружности S. Окружность S₂ касается продолжения отрезка AB за точку B (в точке B₂), окружности S (в точке K) и продолжения отрезка CD за точку D. Доказать, что  ∠ B₁KB₂ – прямой.

Задача 6:

Сколько существует натуральных решений уравнения

Задача 7:

Выпуклый многогранник M с n вершинами находится внутри куба с ребром 1. Все грани M – треугольники. Докажите, что существует тетраэдр объема не больше с вершинами в вершинах многогранника M.

Задача 8:

В последовательности натуральных чисел (x_n), n ≥ 1, выполняется соотношение , где обозначает количество натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Найдите все такие натуральные k > 1, что при любом натуральном x₁ > 1 последовательность (x_n) ограничена.

Задача 9:

Окружность проходит через вершины A и C остроугольного треугольника ABC и пересекает стороны AB и BC в точках D и E. Точки D₁ и E₁ симметричны точкам D и E соответственно относительно основания высоты треугольника, опущенной на сторону AC. Прямые CD₁ и AE₁ пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠ AKC =  ∠ ABC.

Задача 10:

Найдите все функции такие, что f(x² + y²) = xf(x) + yf(y). (Здесь  – множество целых неотрицательных чисел.)