Задача 1:

Назовем разбиение клетчатой доски 200 × 200 на доминошки (то есть прямоугольники из двух клеток) удачным, если любое разбиение этой доски на доминошки имеет с данным четное число общих доминошек. Сколько существует удачных разбиений?

Задача 2:

В вершинах правильного 101-угольника расставлены единицы. За один ход разрешается выбрать четыре подряд стоящие числа, вычесть по 1 из двух средних и прибавить по 1 к двум крайним. Можно ли не более чем за 10000 таких ходов получить расстановку, в которой все числа, кроме одного, равны нулю?

Задача 3:

На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены вовне равнобедренные треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁ с углом 120 градусов при вершине. Докажите, что периметр треугольника A₁ B₁ C₁ не больше периметра треугольника ABC.

Задача 4:

В компании из 200 человек любых пятерых можно посадить за круглый стол так, чтобы каждый из них сидел между двух знакомых (предполагается, что если A знаком с B, то B знаком с A). Какое наименьшее число пар знакомых может быть в этой компании?

Задача 5:

Верно ли, что при любом натуральном n и любых натуральных множество натуральных чисел можно разбить на n + 1 непересекающееся подмножество таким образом, что если хотя бы для одного 1 ≤ i ≤ n, то числа k и m лежат в разных подмножествах.

Задача 6:

Известно, что a, b, c – целые числа, по модулю меньшие 1000000. Докажите, что уравнение ax + by + cz = 0 имеет хотя бы два решения в целых числах, по модулю не превосходящих 2000.

Задача 7:

Последовательность задана соотношениями

Докажите, что все ее члены – натуральные числа.

Задача 8:

В последовательности натуральных чисел (x_n), n ≥ 1, выполняется соотношение , где обозначает количество натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Найдите все такие натуральные k > 1, что при любом натуральном x₁ > 1 последовательность (x_n) ограничена.

Задача 9:

Окружность проходит через вершины A и C остроугольного треугольника ABC и пересекает стороны AB и BC в точках D и E. Точки D₁ и E₁ симметричны точкам D и E соответственно относительно основания высоты треугольника, опущенной на сторону AC. Прямые CD₁ и AE₁ пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠ AKC =  ∠ ABC.

Задача 10:

Найдите все функции такие, что f(x² + y²) = xf(x) + yf(y). (Здесь  – множество целых неотрицательных чисел.)