Задача 1: На III Турнире юных математиков каждый участник был знаком с 13 участниками Турнира. На IV Турнире юных математиков количество участников возросло на 67. Может ли каждый из них быть знакомым с 17 другими участниками?

Задача 2: Пусть n = 111 … 1. Доказать, что если n кратно 7, то n кратно 13.

Задача 3:

Задача 4: Имеется ржавый циркуль постоянного раствора 5 см., и линейка конечной длины не меньшей 9 см. Как с помощью этих инструментов разделить пополам данный отрезок?

Задача 5: В n ящиках (n ≥ 2) лежат гвозди разной длины. Известно, что ни одна из этикеток на ящиках, на которых указана длина гвоздей, не соответствует действительности. Какое наименьшее число вскрытий ящиков потребуется, чтобы разместить этикетки правильно?

Задача 6: В волейбольном турнире участвовало 12 команд. Верно ли, что найдутся три команды А, В, С такие, что каждая из оставшихся команд турнира проиграла хотя бы одной из них. Ничьих в волейболе не бывает.

Задача 7: Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано число, и ход состоит в том, чтобы вычесть из числа какую-либо его ненулевую цифру и написать получившееся число на месте старого. Ходят по-очереди. Выигрывает тот, у кого получается ноль. На доске написано число 1994. Первым ходит Волк. Кто выиграет при правильной игре?

Задача 8: Доказать неравенство 19⁹⁴ × (2¹ººº + 2⁹⁰⁰ + 2⁹⁰ + 2⁴) < 2¹⁹⁹⁴.

Задача 9: Петя, Коля и Вася решили 100 задач, причем каждый решил 60 задач. Назовем задачу «трудной», если ее решил только один из мальчиков. Назовем задачу «легкой», если ее решили все трое. Докажите, что «трудных» задач больше, чем «легких», ровно на 20, если известно, что каждая задача кем-то из школьников решена.

Задача 10: Имеется десять монет достоинством в 10 dream'ок. Их можно разменивать в разменном автомате следующим образом: 5 → 2 + 3; 10 → 5 + 5; 3 → 1 + 2; 3 + 3 + 3 + 1 → 10. Какое наибольшее число монет можно получить в этом автомате?