Задача 1:

Можно ли записать в строку числа от 1 до 29 в таком порядке, чтобы для любого k от 1 до 29 сумма первых k чисел строки делилась на k?

Задача 2:

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает сторону AB в точке D и продолжение стороны AC в точке E. Докажите, что AD < AE.

Задача 3:

После вечера танцев, где юноши танцевали с девушками, всех его участников спросили, со сколькими партнерами (партнершами) они танцевали. Были получены следующие ответы: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6. Докажите, что кто-то ошибся.

Задача 4:

Клетки кубика Рубика раскрашены в черный и белый цвета так, что в любом прямоугольнике 1 × 4 одно и то же количество черных клеток. Докажите, что кубик либо весь черный, либо весь белый.

Задача 5:

Сначала на доске написаны числа 1, 2, …, 10. За один ход разрешается увеличить любое число на доске на сумму цифр любого из выписанных (в том числе на сумму цифр его самого). Можно ли добиться, чтобы каждое число превратилось в 9999?

Задача 6:

Прямоугольник 1 × 9 прямолинейными разрезами рассекли на несколько частей, из которых удалось сложить квадрат (использовав все полученные части). Сколько, самое меньшее, могло быть частей?

Задача 7:

При каком наименьшем натуральном n в квадрате 5 × 5 можно расставить 25 различных натуральных чисел, не превосходящих n, так чтобы любые два соседних (находящихся в клетках, имеющих общую сторону или вершину) числа были взаимно просты?

Задача 8:

Петя, Вася и Толя решили сыграть в следующую игру. В кучке лежат 1999 спичек. Петя и Вася имеют право брать 1 или 2 спички, а Толя – 1, 2 или 3. При этом Петя и Вася объединяют свои усилия против Толи, а Толя имеет право выбрать очередь своего хода – первый, второй или третий. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Может ли Толя выбрать себе такую очередь, что при правильной игре выиграет именно он?