Задача 1:

У марсианских часов три стрелки. Первая стрелка обходит циферблат за полтора земных часа, вторая – за три, третья – за шесть. Первую стрелку поставили вертикально, вторую сместили на 120 градусов, а третью – на 240 градусов по часовой стрелке относительно первой. После этого часы запустили и стали считать, сколько раз встречаются две стрелки. Через сколько земных часов после запуска произойдет 600-я такая встреча?

Задача 2:

Задача 3:

Окружность длины 19 см катится без проскальзывания по неподвижной окружности длины 99 см. Один сантиметр неподвижной окружности измазали неистощимой краской: если что-то ею измажется, оно затем пачкает все, к чему прикасается. Движение подвижной окружности начинается с начала измазанного участка по направлению к нему. Какой путь подвижная окружность пройдет к моменту, когда неподвижная окружность впервые окажется измазанной полностью?

Задача 4:

Квадратную таблицу размером 3 × 3 заполнили цифрами от 1 до 9, записав каждое ровно один раз. Может ли случиться, что для любой строки и любого столбца произведение трех стоящих в ней (нем) чисел делится на 4?

Задача 5:

Даны семь положительных чисел: два из них равны 1 и 2, а сумма остальных пяти равна 3. Докажите, что среди этих семи чисел есть такие три, что сумма любых двух из них больше третьего.

Задача 6:

В государстве 90 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем есть не менее двух циклических маршрутов. Докажите, что есть циклический маршрут, проходящий не более, чем через 60 городов.

Задача 7:

Докажите, что можно выбрать 100 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из них делило нацело сумму остальных.

Задача 8:

Игра идет на клетчатой плоскости. Первый своим ходом рисует два непересекающихся отрезка единичной длины, идущие по линиям сетки, а второй достраивает один из только что нарисованных отрезков до квадрата так, чтобы он не имел общих точек с уже нарисованными фигурами. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?