Задача 1:

У марсианских часов три стрелки. Первая стрелка обходит циферблат за полтора земных часа, вторая – за три, третья – за шесть. Первую стрелку поставили вертикально, вторую сместили на 120 градусов, а третью – на 240 градусов по часовой стрелке относительно первой. После этого часы запустили и стали считать, сколько раз встречаются две стрелки. Через сколько земных часов после запуска произойдет 600-я такая встреча?

Задача 2:

Даны три отрезка длин 1, 2, 3. Отрезок длины 3 как-то разбили на 100 других. Докажите, что среди получившихся 102 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Задача 3:

В государстве 90 городов. Некоторые пары городов соединены дорогами, причем есть не менее двух циклических маршрутов. Докажите, что есть циклический маршрут, проходящий не более, чем через 60 городов.

Задача 4:

Квадратную таблицу размером 3 × 3 заполнили цифрами от 1 до 9, записав каждую ровно один раз. Может ли случиться, что для любой строки и любого столбца произведение трех стоящих в ней (нем) чисел делится на 4?

Задача 5:

На стороне AC равностороннего треугольника ABC с центром O выбрана точка M. Точки N и K – основания перпендикуляров из точки M на стороны AB и BC соответственно. Докажите, что прямая MO делит отрезок NK пополам.

Задача 6:

Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не больше 2.

Задача 7:

Задача 8:

Набор из нескольких натуральных чисел обладает таким свойством, что любое число, умноженное на сумму всех остальных, делится на сумму всех чисел. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на сумму этих чисел.