Задача 1: Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы трех простых чисел? (порядок слагаемых не важен)

Решение: 3 способа

Задача 2: Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680. Какие это могут быть числа?

Решение: 5, 6, 7, 8 и  – 8,  – 7,  – 6,  – 5

Задача 3: Найдите углы ромба, если его периметр в восемь раз больше высоты.

Решение: 30 и 150

Задача 4: Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба. Он ответил: «Хвост весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост". Сколько весила рыба?

Решение: 32 фунта

Задача 5: Найдите все такие пятерки подряд идущих натуральных чисел, что сумма квадратов трех из них равна сумме квадратов двух других. (Ответ запишите в виде соответствующих равенств).

Решение: 102 + 112 + 122 = 132 + 142 и 22 + 42 + 52 = 32 + 62.

Задача 6: Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки квадрата 8 × 8?

Решение: 204 квадрата

Задача 7: На гранях кубика написаны шесть различных цифр. Сумма цифр на противоположных гранях одна и та же для каждой пары параллельных граней. Каковы остальные три цифры, если три известны: 4, 5 и 8? (Перечислите все возможные варианты).

Решение: (0, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 6), (3, 6, 7), (3, 7, 9), (6, 7, 9)

Задача 8: Сколько среди чисел 2x + y, x – y, x – 2y, y – 2x может быть положительных? Укажите все варианты.

Решение: 0, 1, 2 или 3 числа

Задача 9: В треугольнике середины высот лежат на одной прямой. Найдите площадь этого треугольника, если один его угол равен 30, а меньшая высота равна 3.

Решение:

Задача 10: Какое наибольшее натуральное число в записи римскими цифрами начинается на MMX?

Решение: MMXCIX = 2099.

Задача 11: Какое наименьшее натуральное число имеет более 12 натуральных делителей?

Решение: 120

Задача 12: Одно круглое бревно весит 30 кг, второе бревно – вдвое толще и вдвое короче. Сколько весит второе бревно?

Решение: 60 кг

Задача 13: Сколько раз в году может встречаться пятница, 13-е?

Решение: 1, 2 и 3 раза

Задача 14: Вершины выпуклого многоугольника пронумеровали, начиная с 1. Оказалось что общее число его диагоналей кратно числу диагоналей, соединяющих вершины с четными номерами. Сколько вершин имеет этот многоугольник? Укажите все варианты.

Решение: 4, 5 и 6

Задача 15: Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?

Решение: 32 числа

Задача 16: На периметре прямоугольника 3 × 4 выбрана точка M. Найдите длину кратчайшего пути, начинающегося и оканчивающегося в точке M, и имеющего общую точку с каждой стороной прямоугольника.

Решение: 10

Задача 17: В клетках квадрата 3 × 3 расставили цифры 1,2,3,...,9. Затем в каждом из 4 внутренних узлов записали среднее арифметическое окружающих его четырех цифр. После этого вычислили среднее арифметическое полученных четырех чисел. Какое наибольшее число может при этом получиться?

Решение: 6,125 = 6⅛

Задача 18: Шестерым братьям вместе 57 лет. Каждый из них, кроме самого старшего, моложе следующего по возрасту брата на одно и то же число. Самый старший старше самого младшего на столько лет, сколько трем младшим вместе. Сколько лет каждому?

Решение: 2, 5, 8, 11, 14 и 17 лет

Задача 19: Квадратный лист бумаги перегнули по прямой так, что получился невыпуклый многоугольник. Какое наибольшее количество сторон у него может быть?

Решение: 9 сторон

Задача 20: 45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей?

Решение: 75 штук