Задача 1: Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое? (Каждая цифра должна быть использована ровно один раз).

(Р.Женодаров)

Решение: Можно. 532 делится на 14, а 215 делится на 43.

Задача 2: Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени. В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город P и прибыл туда в 13.00 того же дня по P-скому времени. Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени. Сколько времени самолет находился в воздухе? Ответ обязательно должен быть обоснован.

(И.Рубанов)

Решение: Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00, при этом он находился на земле всего 7 часов – с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N и с 13.00 до 15.00 местного времени в городе P. Следовательно, все остальное время он летел.

Задача 3: У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири – каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?

(Ю.Лифшиц)

Решение: Ответ. Да.

1. Петя может просто повторять ходы Васи. В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг – и немедленно проиграет.

2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры Вася выложит все гири, а Петя – все, кроме 50-килограммовой. Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Задача 4: Пусть S(n) – сумма цифр числа n. Найдите все n, для которых

(О.Нечаева)

Решение: Ответ. Таких n не существует.

Доказательство. Все n слагаемых в левой части дают одинаковый остаток при делении на 3, совпадающий с остатком от деления на 3 самого числа n. Перебирая три различных случая, получаем, что остаток от деления левой части на 3 равен либо 0, либо 1. Но правая часть – число 2000000 – при делении на 3 дает в остатке 2.

Задача 5: В треугольнике ABC  ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что  ∠ ADC = 2 ∠ C. Доказать, что AB + AD = BC.

(С.Берлов)

Решение: Продолжим отрезок BA за точку A и отложим на нем отрезок AE = AD. Заметим, что  ∠ EAC = 180 –  ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны (по сторонам AC, AD = AE и углу между ними). Отсюда находим углы треугольника AEC:  ∠ AEC =  ∠ ADC = 2 ∠ C,  ∠ ACE =  ∠ C, т.е.  ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный. Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC.