Задача 1: Докажите, что ребус: ЗАДАЧА + ЗАДАЧА  =  ТУРНИР не имеет решений.

(Р.Женодаров)

Решение:

Сложение А + А должно быть выполнено в трех различных разрядах, при этом результаты записываются тремя различными буквами – У, Н и Р. Но это невозможно, так как А + А может принимать только два разных значения – эта сумма является либо некоторым четным числом (если нет переноса из предыдущего разряда), либо следующим за ним нечетным (если есть перенос единицы из предыдущего разряда). Переноса двух единиц быть не может.

Задача 2: У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, …, 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири – каждый на свою чашу двухчашечных весов – причем первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?

(Ю.Лифшиц)

Решение: 1. Петя может просто повторять ходы Васи. В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг – и немедленно проиграет.

2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры Вася выложит все гири, а Петя – все, кроме 50-килограммовой. Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Задача 3: Пусть S(n) – сумма цифр числа n. Найдите все n, для которых

(О.Нечаева)

Решение:

Ответ. Таких n не существует.

Доказательство. Все n слагаемых в левой части дают одинаковый остаток при делении на 3, совпадающий с остатком от деления на 3 самого числа n. Перебирая три различных случая, получаем, что остаток от деления левой части на 3 равен либо 0, либо 1. Но правая часть – число 2000000 – при делении на 3 дает в остатке 2.

Задача 4: В треугольнике ABC  ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что  ∠ ADC = 2 ∠ C. Доказать, что AB + AD = BC.

(С.Берлов)

Решение: Продолжим отрезок BA за точку A и отложим на нем отрезок AE = AD. Заметим, что  ∠ EAC = 180 –  ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны (по сторонам AC, AD = AE и углу между ними). Отсюда находим углы треугольника AEC:  ∠ AEC =  ∠ ADC = 2 ∠ C,  ∠ ACE =  ∠ C, т.е.  ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный. Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC.

Задача 5: Имеется n дискеток и n этикеток, раскрашенные в несколько цветов. Дубль – это дискета, к которой приклеена этикетка того же цвета. Докажите, что можно добиться того, что все дубли будут одного цвета.

(А.Шапиро)

Решение:

1. Наклеим сначала этикетки на дискетки в произвольном порядке. Предположим, что у нас образовались дубли нескольких различных цветов. Возьмем по одной дискетке-дублю двух разных цветов и обменяем их этикетки. После этого каждая из дискеток перестанет быть дублем, так что общее число дублей уменьшится на 2. Далее будем повторять эту операцию до тех пор, пока дублей различных цветов не останется.

2. Докажем нужный факт индукцией по числу дискеток (при этом можно даже не обращать внимание на соответствие цветов дискеток и этикеток!). База индукции (одна дискетка) очевидна. Переход: если все k + 1 дискеток одноцветны, то и доказывать нечего. Если же есть дискетки разных цветов, то возьмем одну из них и наклеим на нее этикетку другого цвета, а для остальных k дискеток применим предположение индукции.