Задача 1: Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел – целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000.

(Американская олимпиада)

Задача 2: В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A – прямой, E – точка пересечения диагоналей, точка F – проекция E на сторону AB. Докажите, что углы DFE и CFE равны.

(С.Берлов)

Задача 3: Чертежный инструмент «треугольник" – это железный равносторонний треугольник со стороной 1. Можно приложить треугольник к любой точке или к любому ранее проведенному отрезку и обвести контур треугольника. Также разрешается соединять отрезком две точки на расстоянии не более 1. Докажите, что с помощью треугольника можно разделить данный отрезок пополам.

(Ю.Лифшиц)

Задача 4: На доске написано натуральное число. Первую цифру сложили со второй, вторую с третьей, и так далее, предпоследнюю цифру сложили с последней, после чего эти числа выписали в строчку без пробелов, сохраняя порядок. С полученным числом проделали такую же операцию, и так далее (например, из 1568 получается 61114, а из него, в свою очередь, 7225). Найдите наименьшее число, из которого такими операциями нельзя получить однозначное число.

(А.Переверзев)

Задача 5: Известно, что x > y > 0 и . Докажите, что x ≥ 4y.

(А.Воронецкий)

Задача 6: Учительница дала отличнице Кате четыре положительных числа. Катя написала на доске числа 3, 4 и 7 и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трех из четырех данных ей чисел. Докажите, что Катя ошиблась.

(Д.Карпов)

Задача 7: Чебурашка и Шапокляк поедают ящик апельсинов. Первоначально в нем 100 хороших апельсинов и 50 гнилых. За один ход Шапокляк может либо съесть один хороший апельсин, либо заменить два хороших апельсина на два гнилых, Чебурашка может либо съесть два хороших апельсина, либо съесть один хороший и выкинуть один гнилой. Первым ходит Чебурашка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

(А.Храбров)

Задача 8: На острове Невезения 2000 жителей. Часть из них – лжецы, которые всегда лгут, а остальные – рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них знает, кем – лжецом или рыцарем – является любой другой житель острова, кроме его ближайшего соседа (одного, если таких соседей несколько). Приехавший корреспондент перенумеровал всех жителей острова, а потом провел социологический опрос, и каждый опрошенный, имевший порядковый номер k, сказал: «Я знаю, что на острове не менее k лжецов". Докажите, что на острове есть два рыцаря, один из которых – ближайший сосед другого.

(О.Нечаева, И.Рубанов)