Задача 1: На шахматной доске 20 × 20 стоят несколько ладей, а на всех полях, которые ими не бьются, стоят кони. Никакие фигуры не бьют друг друга. Какое наибольшее количество фигур может быть на доске?

(С.Волченков)

Задача 2: Какие значения может принимать число x, если выполняются такие равенства: ?

(Украинская олимпиада, 1987)

Задача 3: Десять гирь весом 1, 2, …, 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую – какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии.

(И.Рубанов, К.Кноп)

Задача 4: В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и AB = BC = BD. Докажите, что CD = CO (O – точка пересечения диагоналей).

(Л.Медников)

Задача 5: Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма остатков оказалось равна 39. Найдите остаток от деления этого числа на 3.

(К.Кохась)

Задача 6: В клетках таблицы 100 × 100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Сколько различных чисел может остаться в таблице через 4 часа?

(Украинская олимпиада, 593, вариант)

Задача 7: Вася написал программу, которая решает ребус ДВА + ТРИ = ПЯТЬ. Компьютер выдал 210 решений этого ребуса и сообщил, что других решений нет. Доказать, что программа работает неправильно.

(Д.Кузнецов)

Задача 8: Написанное на доске число можно умножить или разделить на или . Можно ли из 1 получить другое целое число?

(А.Проскурников$+$жюри)