Задача 1: На шахматной доске 2000 × 2000 стоят n² коней и 2000 – n ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее количество фигур может быть на доске?

(С.Волченков)

Задача 2: В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем всего есть 200 дорог. Оказалось, что любой циклический маршрут имеет длину не менее пяти. Докажите, что существуют два непересекающихся циклических маршрута.

(Д.Карпов)

Задача 3: Десять гирь весом 1, 2, …, 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую – какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии.

(И.Рубанов, К.Кноп)

Задача 4: В параллелограмме ABCD перпендикуляры к сторонам AB и AD, восставленные, соответственно, из вершин B и D пересеклись в точке, лежащей на прямой AC. Докажите, что ABCD – ромб или прямоугольник.

(Л.Медников)

Задача 5: Существует ли такой конечный набор натуральных чисел, что все их попарные суммы различны и среди этих попарных сумм есть 100 натуральных чисел, идущих подряд?

(С.Берлов)

Задача 6: В клетках таблицы 100 × 100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Сколько различных чисел может остаться в таблице через 4 часа?

(Украинская олимпиада, 593, вариант)

Задача 7: Пусть n – натуральное число. Обозначим через P_k количество целых неотрицательных решений уравнения kx + (k + 1)y = n – k + 1. Выразите сумму P₁ + P₂ + ... + P_n через n.

(Чехия, 1978)

Задача 8: В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD. Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB.

(Саратов, 1993--94)