Задача 1: N кругов расположены так, что центр каждого из них лежит внутри ровно одного из остальных, и внутри каждого лежит центр ровно одного из остальных. Найдите все числа N, при которых такое возможно.

(А.Грибалко)

Задача 2: Квадратная страна 2000 × 2000 км разбита на прямоугольные области 100 × 200 км. Области объявили независимость, и каждая пара областей, имеющих общий участок границы, построила на двоих одну таможню. Какое наибольшее число таможен могло быть построено?

(А.Шаповалов)

Задача 3: У художника-копииста есть картина, представляющая из себя белый клетчатый прямоугольник, на котором некоторые клетки покрашены в черный цвет, и бесконечный белый клетчатый холст. Художник каждый полдень закрашивает две клетки холста в черный цвет, а его сын-хулиган каждую полночь перекрашивает одну из них обратно в белый цвет. Музей принимает картины ежедневно с 9.00 до 10.00. Докажите, что вне зависимости от действий сына художник может скопировать картину, вырезать ее из холста и сдать в музей.

(О.Нечаева)

Задача 4: У каждой из 4100 плиток размером 1 × 1 две стороны покрашены в черный цвет, а две стороны – в белый. Докажите, что из этих плиток можно сложить квадрат 64 × 64 так, чтобы любые две соседние по стороне плитки прилегали друг к другу сторонами разных цветов.

(Ю.Лифшиц)

Задача 5: На микрокалькуляторе ТыкДык-200000 есть кнопки « + 1", « – 16", « – 9" и « + 8", причём калькулятор взрывается, как только в него попадает число, делящееся на 8. Докажите, что из числа 1 нельзя получить ровно за 200000 операций число 200001, не взорвав калькулятор.

(Р.Семизаров)

Задача 6: Точка P внутри остроугольного треугольника ABC такова, что  ∠ PAC =  ∠ PBC. Точки L и M – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что точки L и M равноудалены от середины стороны AB

(Австралия, 1983)

Задача 7: Докажите, что если ac – a – c = b² – 2b, bd – b – d = c² – 2c и b ≠ c, то ad + b + c = bc + a + d.

(Украинская олимпиада, 1984)

Задача 8: Докажите, что в любой бесконечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, есть число с нечетной суммой цифр.

(С.Берлов)