Задача 1: В алфавите языка племени МУМБО-ЮМБО всего две буквы А и Б. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа таких операций: вычёркивания трёх подряд идущих букв А, вставки трех букв А в любое место, замены любого набора стоящих рядом букв АБА на набор стоящих рядом букв БААБ или обратной замены. Верно ли, что слово АББ…Б и слово ББ…БА (в каждом из этих слов буква Б встречается 2000 раз) означают одно и то же?

(А.Штерн)

Задача 2: В точке 1 числовой оси сидит кузнечик. Длина каждого его прыжка равна (по его желанию) либо 3, либо 4. Может ли он за 99 прыжков побывать во всех целых точках от 2 до 100?

(Р.Женодаров)

Задача 3: Решите систему уравнений

(Украинская олимпиада, 1983)

Задача 4: Пусть M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Известно, что серединные перпендикуляры к MN, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что AB = CD.

(С.Берлов)

Задача 5: Остап Бендер дает сеанс одновременной игры 45 шахматистам, сидящим по кругу. Напротив некоторых из шахматистов стоят стулья. Остап садится на стул перед шахматистом, и, сделав ход, переходит к следующему по часовой стрелке шахматисту. При этом он передвигает стул, если перед следующим шахматистом стула нет. Все стулья одинаковы. Могло ли случиться так, что в течение 2000 ходов Остапа ни разу не повторилось расположение стульев и Остапа (считается, что за это время ни одна из партий не закончится)?

Задача 6: Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Найдите максимальное возможное значение их (всех десяти!) наибольшего общего делителя.

(Киевская олимпиада, 1979)

Задача 7: Во дворе стоят несколько столбов, некоторые пары из них соединены проводами. Всего протянуто mn проводов, раскрашенных в n цветов, причем ни от какого столба не отходят провода одинакового цвета. Докажите, что можно перекрасить провода так, чтобы проводов всех цветов было поровну и по-прежнему ни от какого столба не отходили два провода одного цвета.

(Украинская олимпиада, 1989)

Задача 8: Числа от 1 до 100 выписали в строку. Среди любых трех подряд стоящих чисел подчеркнули среднее по величине. Какое наименьшее количество чисел могло быть подчеркнуто?

(С.Берлов)