Математические олимпиады и олимпиадные задачи

Задача 1:

«Если диаметр круга единица, то длина нити, охватывающей окружность, выражается целым с дробью: Определить до какого десятичного знака точно это приближение для π .

(Ибн-Эзра Авраам бен-Меир, трактат ``Книга о числе''.)

Решение:

Точно до второго десятичного знака

Задача 2:

Каждый из нескольких купцов внес в общее дело 100 раз столько рублей, сколько было купцов. Они отправили в Венецию доверенного, получавшего с каждой сотни рублей число рублей, вдвое большее числа купцов. Спрашивается: сколько было купцов, если доверенный получил 2662 рубля?

(Леонард Эйлер)

Решение:

11 купцов

Задача 3:

Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно отвесить на весах любое целое число фунтов от 1 до 40 при условии, что при взвешивании гири можно класть на обе чаши весов?

(Баше де Мезирак)

Решение:

4 гири – 1,3,9 и 27 фунтов

Задача 4:

Число состоит из трех цифр, сумма этих цифр равна 11, цифра единиц вдвое больше цифры сотен. Если прибавить к искомому числу 297, то получается число, написанное теми же цифрами, как у искомого, но в обратном порядке. Какое число имеет эти свойства?

(Луи Пьер Бурдон)

Решение:

326

Задача 5:

Стая обезьян забавлялась: квадрат одной восьмой части их резвился в лесу, остальные двенадцать кричали на вершине холмика. Скажи мне: сколько было всего обезьян?

(Бхаскара)

Решение:

16 или 48 обезьян

Задача 6:

Найти площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.

(Ал-Кархи)

Решение:

Задача 7:

Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несёт по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех предметов?

(Леонардо Фибоначчи)

Решение:

137,256 предметов

Задача 8:

Лестница длиной 13 футов наклонно приставлена к стене, нижняя часть ее при этом удалена от стены на 5 футов. Насколько спустится она по стене, если её основание отодвинуть ещё на 7 футов?

(рукопись Мюнхенского собрания)

Решение:

7 футов

Задача 9:

Найти три числа так, чтобы произведение любой пары их, увеличенное их суммой, равнялось бы соответственно 8, 15, 24.

(Диофант Александрийский)

Решение:

, , .

Задача 10:

Эпитафия Диофанту: «Диофант провел шестую часть жизни в детстве, двенадцатую в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и ещё 5 лет у него родился сын, проживший в два раза меньше отца. После смерти сына Диофант прожил только 4 года. Скольких лет Диофант умер?»

(Метродор)

Решение:

84 года

Задача 11:

«Если число, делённое на 9, даёт в остатке 2, 5 или 8, то куб его, делённый на 9, даёт в остатке ». Что?

(Авиценна)

Решение:

Задача 12:

«Разделить сто мер пшеницы между 100 лицами так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина – 2, а каждое дитя – меры. Сколько мужчин, женщин и детей?» Сколько решений имеет эта задача?

(Алкуин)

Решение:

7 решений

Задача 13:

Один фонтан наполняет бассейн в 2½ часа, другой – в 3¾ часа. Во сколько времени оба фонтана, действуя вместе, наполнят бассейн?

(Сильвестр Лакруа)

Решение:

за 1½ = 1,5 часа.

Задача 14:

«Сколько раз пробьют часы в продолжение 12 часов, если они отбивают и получасы?" (Часы – соответствующее число раз, а получасы – по разу).

(Луи Франкер)

Решение:

90 раз

Задача 15:

«Найти число, которое при делении на 17, 13 и 10 даёт соответственно остатки 15, 11 и 3.» Найдите такое наименьшее натуральное число.

(Региомонтан (Иоганн Мюллер))

Решение:

1103

Задача 16:

«»

Вставьте вместо многоточий натуральные числа.

(Бхаскара)

Решение:

Задача 17:

Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму он ее купил?

(Этьен Безу)

Решение:

40 или 60 пистолей

Задача 18:

Рота пехоты подходит к берегу реки, но оказывается, что мост сломан, брода нет. У берега два мальчика играют в челноке, но таком маленьком, что в нем может переправиться только один взрослый или двое детей. Спрашивается, как с помощью этого челнока может вся рота переправиться на другой берег?

(Баше де Мезирак)

Решение:

Едут дети, один остается, другой обратно, едет солдат, обратно едет лодка с мальчиком, снова едут дети на противоположный берег и т.д.

Задача 19:

«Доказать, что

Какое целое число здесь пропущено?

(Жозеф Бертран)

Решение:

Задача 20:

За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для π , которым пользовались вавилоняне.

Решение:

π = 3