Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4:

Задача 5:

Задача 6:

Пять вершин правильного десятиугольника покрашены красным цветом, а остальные пять – синим. Докажите, что можно найти треугольник, все вершины которого – красные, и равный ему треугольник, все вершины которого синие.

Решение:

Первое решение. Пусть A₁, A₂, …, A₁₀ – вершины десятиугольника в порядке обхода контура. Если цвета вершин чередуются, то искомых треугольников много, например, треугольники A₁A₃A₅ и A₂A₄A₆. Если цвета не чередуются, то есть две смежные синие и две смежные красные вершины. Теперь рассмотрим два возможных случая.

I. Если указанные четыре вершины идут подряд, например, A₁ и A₂ – красные, а A₃ и A₄ – синие, и хотя бы в одной паре вершин (A₁₀,A₅), (A₉,A6), (A₈,A7) есть вершины разных цветов, то эти вершины вместе с вершинами A₁, A₂, A₃, A₄ образуют два искомых треугольника. Если же в каждой паре вершины одного цвета, то либо красных, либо синих вершин больше пяти.

II. Если смежные красные и смежные синие вершины не идут подряд, то вершины, находящиеся рядом с ними все должны быть одного цвета, иначе найдутся два красных и два синих треугольника, образованных тремя идущими подряд вершинами. Если таких (находящихся рядом) вершин четыре, то вершин какого-то цвета больше пяти. Остается единственный случай, когда две синие и две красные рядом стоящие вершины расположены друг от друга через одну вершину. Ясно, что эта вершина должна быть либо синей, либо красной, и мы находимся в условиях случая I.

Второе решение. Наряду с данным, рассмотрим десятиугольник с вершинами, раскрашенными наоборот. Рассмотрим все возможные десять совмещений этих двух многоугольников при различных поворотах друг относительно друга. Докажем, что при каком-то из таких совмещений не менее, чем в трех вершинах совпадут синие цвета десятиугольников, откуда будет следовать утверждение задачи. Пусть при любом совмещении синие цвета совпадают не более, чем в двух вершинах. Тогда суммарное число совпадений при всех совмещениях не более двадцати. Но, ясно, что любая синяя вершина одного десятиугольника при каком-то совмещении совпадет с любой синей вершиной второго десятиугольника, что дает, по крайней мере, 25 различных совпадений. Противоречие.