Задача 1:

На кошачьей выставке в ряд сидели 19 кошек и 10 котов, причем рядом с каждой кошкой сидел кот, который был толще, чем она. Докажите, что рядом с каждым котом сидела кошка, которая была тоньше, чем он.

Решение: Возьмем любого кота. Так как рядом с каждым котом сидит не больше двух кошек, оставшиеся 9 котов «обслуживают» не больше 18 кошек. Стало быть, найдется кошка, рядом с которой сидит только выбранный нами кот. По условию он должен быть толще этой кошки, то есть она тоньше, чем он, что и требовалось доказать.

Задача 2:

При каком наибольшем n по кругу можно расставить n различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних?

Решение:

Ответ: При n = 6. Решение. Возьмем числа, расставленные по кругу с соблюдением условия. Пусть a и b – два соседних числа. Тогда после b идет число b/а, затем – число 1/а, дальше – 1/b, а за ним – a/b. Следующим, чтобы соблюдалось условие задачи, должно быть число a. Но оно уже было вначале. Значит, круг должен замкнуться. Таким образом, по кругу с соблюдением условия задачи можно выписать не больше шести чисел. Вот пример, когда их ровно шесть: 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3.

Задача 3:

В клетках квадратной таблицы 10 × 10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено 10-значное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?

Решение:

Ответ: Нет. Решение. Как известно, число делится на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма его цифр. Поэтому достаточно выяснить, может ли оказаться, что из 20 сумм цифр по строкам и столбцам 19 сумм делятся на 3, а одна – нет. Допустим, может. Пусть «плохая» сумма получилась в одной из строк. Тогда, поскольку суммы цифр в остальных строках делятся на 3, сумма цифр во всей таблице не 3 не делится. С другой стороны, все суммы цифр по столбцам делятся на 3, а, значит, и сумма всех цифр в таблице – тоже. Противоречие.

Задача 4:

Поля клетчатой доски размером 8 × 8 будем по очереди закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это условие, закрасить 28 клеток. В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.

Задача 5:

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр стороны AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX = YZ.

Решение:

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а M и N –середины. сторон AC и AB соответственно. Ясно, что оба серединных перпендикуляра проходят через точку O. Заметим, что OA = OZ как радиусы, кроме того, треугольники AXN и AYM подобны по двум углам. Значит, углы AXN и AYM равны. Тогда равны и углы OXY и OYX, а значит, и OX = OY. Но тогда отрезки AX и ZY будут симметричны относительно серединного перпендикуляра к AZ, следовательно, они будут равны.

Задача 6:

Квадратный материк разделен на 19 стран в форме выпуклых многоугольников, причем нет точек, в которых сходились бы границы четырех или больше стран. Из всяких же трех границ, сходящихся в одной точке, одна закрыта, а две открыты для проезда. Докажите, что невозможно объехать все эти страны, побывав в каждой по одному разу и вернуться в исходную страну.

Решение:

Назовем вершиной точку, где сходятся границы трех стран. По условию из каждой вершины выходит ровно одна закрытая граница. Допустим, объехать страны можно. Поскольку соответствующий замкнутый маршрут не пересекает закрытых границ, каждая из них либо целиком лежит внутри него, либо целиком снаружи. Поэтому все вершины, находящиеся внутри маршрута, разбиваются на пары вершин, связанных закрытыми границами, т.е. этих «внутренних» вершин – четное число k. Мысленно заменим участки границ, соединяющие вершины, нитями и разрежем каждую пополам. Тогда из «внутренних» вершин будет выходить 3k, т.е., четное число половинок нитей. Из них 19 половинок ведут наружу. Значит, от разрезания нитей, целиком лежащих внутри маршрута, получилось 3k – 19 половинок. Но это число – нечетное! Противоречие.