Задача 1:

Юра составил из 32 раскрашенных доминошек квадрат 8 × 8 так, что любые две доминошки одного цвета не имеют общих точек. Докажите, что у Юры были доминошки хотя бы четырех цветов.

Задача 2:

На плоскости дано 13 точек, причем из любых пяти четыре лежат на одной окружности. Докажите, что есть окружность, на которой лежат по крайней мере шесть из данных точек.

Задача 3:

Имеется неограниченный запас гирь, каждая весом в целое число граммов. Требуется подобрать такой набор гирь общим весом в n граммов, что любой целочисленный вес, меньший n, можно было единственным образом уравновесить гирями из этого набора (гири одного веса считаются одинаковыми). Класть на одну и ту же чашку гири и груз не разрешается. Простейший способ – взять для этого много гирек весом в 1 грамм. Такой способ мы будем называть тривиальным. Докажите, что если нетривиальный способ подбора гирь существует, то число n + 1 составное.

Задача 4:

D, E и F – основания перпендикуляров, опущенных из внутренней точки M на стороны остроугольного треугольника ABC. Найдите геометрическое место таких точек M, что  ∠ DEF = 90.

Задача 5:

Докажите, что среди любых 22 последовательных натуральных чисел найдется число, не делящееся на сумму своих цифр.

Задача 6:

В стране Фалкерсонии некоторые города соединены авиалиниями, причем из города A в город B нельзя попасть, сделав менее десяти пересадок. Докажите, что все авиалинии можно распродать 11 авиакомпаниям таким образом, что любой маршрут из A в B будет проходить по линиям, принадлежащим всем 11 компаниям.

Задача 7:

В остроугольном треугольнике ABC BH – высота. Прямые, симметричные AC относительно AB и BC пересеклись в точке K. Докажите, что угол KBC равен углу ABH.

Задача 8:

Докажите, что при любых натуральных a и b число не является целым.