Задача 1:

В очки 15 жителей Изумрудного города вставлено по 10 зеленых, розовых и голубых стекол. Эти жители встали по кругу так, что любые два соседа не носят стекол одного цвета. Какое максимальное число жителей может носить очки с разноцветными стеклами?

Задача 2:

Найдутся ли семь таких различных натуральных чисел, что у любых двух из них – одно и то же наименьшее общее кратное?

Задача 3:

Натуральное число называется палиндромом (перевертышем), если его запись читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1043401). Все палиндромы выписали в ряд в порядке возрастания. Найдите все простые числа, которые могут быть делителями разности двух соседних чисел этого ряда.

Задача 4:

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, а затем проведены биссектрисы LN и LM углов ALB и ALC (точки N и M лежат на отрезках AB и AC). Оказалось, что LN = LM. Докажите, что или AB = AC, или угол BAC – прямой.

Задача 5:

Около бензоколонки с неограниченным запасом бензина стоят два грузовика, каждый из которых на полной заправке может проехать 100 км. Машины могут заправляться неограниченное число раз. Разрешается также переливать бензин из одного бензобака в другой. Докажите, что одна из машин может с помощью другой доехать до города, расположенного в 172 км от бензоколонки.

Задача 6:

Натуральные числа от 1 до 36 расставлены в клетках квадрата 6 × 6 так, что в каждой из шести строк слева направо и в каждом из шести столбцов сверху вниз числа возрастают. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, стоящих в «уголке», образованном верхней строкой и левым столбцом?

Задача 7:

У Альберта сначала было 6 гиней, у Бруно – 3 гинеи и 23 шиллинга, а у Кристофера – 46 шиллингов. После того, как каждый из мальчиков подарил каждому из остальных по одной из своих монет, у всех оказались одинаковые суммы денег. Сколько шиллингов в одной гинее?

Задача 8:

В городе n (n ≥ 2) улиц идут с запада на восток и n улиц идут с севера на юг. Всего n² перекрестков. Каким наименьшим количеством автобусных маршрутов можно обойтись, чтобы от любого перекрестка до любого другого можно было бы доехать (возможно, с пересадками), а каждый маршрут шел по границе некоторого прямоугольника?