Задача 1:

Назовем число совершенненьким, если его цифры можно разбить на две группы так, что сумма цифр в первой группе равна сумме цифр во второй. Докажите, что среди любых трех подряд идущих чисел хотя бы одно не является совершенненьким.

Задача 2:

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 78 карточек, пронумерованных числами от 1 до 78. Он выбирает из них 40 карточек и передает первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 38 карточек и, перемешав, передает эти три карточки второму фокуснику. Как фокусникам договориться, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трех карточек добавил зритель?

Задача 3:

В группе из 100 людей среди любых троих есть человек, знающих обоих других. Докажите, что из этой группы можно выбрать компанию из 50 человек, в которой все знакомы друг с другом.

Задача 4:

В треугольнике ABC BL – биссектриса, K – основание перпендикуляра, опущенных из точки L на сторону AB. Докажите, что 2KL < AC.

Задача 5:

Дети гуляют во дворе детского сада. Тех из них, у кого на ногах надето поровну носков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Воспитательница велела детям переодеться, и каждый ребенок снял с одной ноги носок и надел его на другую ногу. Теперь тех, у кого носков на ногах поровну, стало в 2 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале прогулки более чем у половины детей на одной ноге было ровно на один носок меньше, чем на другой?

Задача 6:

По кругу расставлены 14 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 30. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 15.

Задача 7:

Найдите все тройки натуральных чисел x, y, z такие, что xyz = 170170 и x²y + y²z + z²x = xy² + yz² + zx².

Задача 8:

Найдите 9 клетчатых прямоугольников (среди них могут быть и равные), из которых можно составить любой клетчатый прямоугольник, обе стороны которого не больше 7?