Задача 1:

В клетках прямоугольника 5 × 9 стоят 33 фишки. Ход состоит в том, что все фишки одновременно сдвигаются так, чтобы каждая фишка оказалась на клетке, соседней с исходной. При этом запрещается ставить две фишки на одну клетку (в том числе и в начальной позиции). Кроме того, если какая-то фишка передвинулась по горизонтали, то в следующий ход она должна передвигаться по вертикали, и наоборот. Докажите, что по этим правилам невозможно сделать подряд 100 ходов.

Задача 2:

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны и пересекаются в одной точке. Оказалось, что AB = DE, a BC = EF. Докажите, что CD = FA.

Задача 3:

Найдите все такие числа n, что . [x] – это наибольшее целое число, не превосходящее числа x.

Задача 4:

При каких натуральных k, больших 2, но меньших 50, существует число, которое является суммой k идущих подряд натуральных чисел, но не является суммой m идущих подряд натуральных чисел при любом m от 2 до k – 1?

Задача 6:

В треугольнике ABC  ∠ B = 120. BL – биссектриса этого треугольника. K и M – основания перпендикуляров, опущенных из точки L на стороны AB и AC соответственно. Докажите, что 2KM < AC.

Задача 7:

В группе из 100 людей среди любых троих есть человек, знающих обоих других. Докажите, что из этой группы можно выбрать компанию из 50 человек, в которой все знакомы друг с другом.

Задача 8:

Можно ли вырезать из клетчатой бумаги 16 прямоугольников так, чтобы из них можно составить любой клетчатый прямоугольник, обе стороны которого не больше 15?